译者说明
本书译自《科学美国人》杂志社发行的一套数学悖论幻灯片“Paradox Box”（悖论箱）的说明。“Paradox Box”是第一次采用幻灯形式来集中演示一些生动有趣而又异乎寻常的悖论，还配有一套录音带作解说，以此来激发人们对数学的兴趣。遗憾的是，我们无力把包括幻灯片、录音带在内的全套材料介绍给国内读者，只能将幻灯片的全部画面复印出来，附以解说，以连环画的形式给出各种悖论小故事，这样虽不如原有材料生动活泼，倒也不失其新颖有趣之处。

为了通俗起见，Paradox一概译为悖论。全书共分六章，每章有十多个小故事，提出不同的悖论。为了帮助读者理解和进一步深入学习，一组画面之后备有评注，详细说明这组画的内容，另外还提供一些背景材料和有益建议。参考书目统一附于书后。

由于我们的水平不高，因此在本书的翻译工作中一定存在不少问题。承蒙研究生院的颜基义同志悉心校订，科学出版社的白树枫同志帮助编审，才使本书得以顺利完成。在此谨对他们表示衷心的感谢。

前言
“Paradox Box”是一套有六组片子的幻灯片，它包括逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等六个方面的数学悖论，另外还附有录音带作解说。本书是这套材料的说明。

“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。

悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。

趣味数学具有重大教育学价值．这一点只是在最近才为一大批教师所认识。很多现象说明，这一趋势正在发展。雅可比的教本：《数学—人类的魄力》获得了极大成功，其部分原因无疑是他巧妙地把趣味性材料揉进了传统的数学问题中。现在在教师会议和期刊里，趣味数学的文章也越来越多。美国教师委员会出版的威廉·沙夫编的《趣味数学书目》发行量是很大的。

就我们所知，悖论箱是第—次用视听方法向中学生和大学低年级学生介绍趣味数学的重要尝试。这六个部分的幻灯故事内容都很新颖，大部分是过去没有见过的。有些材料即便不是新的，它也是用不同形式和色调来表现的。

这套书有五个主要目的：

1．激发学生对数学的兴趣；

2．向读者介绍重要的数学思路；

3．发起丰富多彩的数学活动；

4．使人洞悉解题过程；

5．提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力。

第一章 逻辑学悖论


如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，就会发现，没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？

这一章的主要目的，是尽可能用娱乐的方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。在这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。

尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。在这里，你会看到引自伯特兰德·罗素的话，他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作，写了《数学原理》，这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。

作为一个数学教师，不用人提醒就懂得，逻辑学是一切演绎推理的基础，一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。对这些基础的理解往往是较困难的，它使初学学生丧失对数学的兴趣。幸好，这组故事可以帮助你使学生认识到，逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。

在这组故事中有三个中心问题。

1．在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？

2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？

3．在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可能的？

最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。现代几何学教科书，如雅可比的《几何学》，和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。

这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背景知识，并预计到可能会提出的问题，还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。

2．说谎者悖论

 M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。

甲：这句话是错的。

M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
 

学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。

这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”

再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。

也许学生们还可以作出其他变化。

4．一句话和他的反话

 M：这句话有几个字？七个字。

显然原话错了！那么它的反话就应该是对的吧，是不是？
 

 M：不对，这句语的反话正好是八个字。所以，它像它原来的话一样是错的。我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
 

这种悖论的创造者是谁，人们都不知道。这里还有另一个变了点花样的货真价实的悖论，学生们一定会觉得很有趣的，在黑板上写：

在黑板上标出三个有错误的句子；

1． 2+2=4

2． 3*6=17

3． 8/4=2

4． 13-6=5

5． 5+4=9

回答：只有第2句和第4句是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了，而这个断言就成了第三个错句！

5．发狂的计算机

 M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。

语句：“这句话是错的”。
 

 M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中。
 

世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。

戈登·狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）

第三章 关于数的悖论


这里介绍的各种数的悖论会激发学生深入数论和其他与列出的悖论有关的数学分支。

由于这些悖论看上去违反直觉和常识而使数学家们感到震惊和难堪，这一点强烈地影响了数学发展的历史。经典的事例有：首次发现无理数、虚数、复数、不遵循乘法交换律的数（四元数）、或不遵循乘法结合律的数（凯雷数），等等，直到乔治·康妥在十九世纪时揭示出一类超限数，大卫·希尔伯特把它称为超限数的“乐园”。

这里选取的悖论大部分是关于简单算术的和初等集合论的。对算术感到厌烦的学生可以受到鼓励去模仿书中例子编出一些新悖论来，他们在做这一尝试中会取得算术技巧。例如， “无所不在的9”能指导做有限计算，“奇异的遗嘱”能指导丢番方程，“惊人的编码”使学生了解无理数的性质。很多悖论是把代数解加以推广的起步点。这一章结尾处有意稍微显露一点康妥乐园中超限数知识，这个超限数乐园有很多令人兴奋的研究正在进行。

第四章 几何学悖论


对大多数人来说，甚至对大多数在中学学习数学的学生来说，“几何”一词意味着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质，在这里，我们将按费利克斯·克来因在一百多年前提出更广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在确定的一组变换群下保持不变的那些性质。

另一方面，拓扑学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续变形下不变的种种性质。这里所出现的“悖论”，如编手镯、把圆环的里面翻到外面来、不动点定理，凡此种种都是关于拓扑性质的。虽然现在中学一般不讲授拓扑学，但是拓扑学中的—些概念很容易为年轻人掌握，学生们将会被这些奇景所吸引和激励。

在介绍完这一章内容之后，可对几何学的不同分支做简短介绍，每一分支都是由允许使用何种变换来定义的，这将使学生熟悉克来因的几何学概念，它是现代数学最基本、最具普遍性的概念之一。自然我们要从欧几里得平面几何和立体几何开始介绍，在这里所允许的变换是平移、反射、旋转和相似变换。然后再一步步向前发展，介绍那些越来越特殊的变换，从而逐步定义仿射几何、射影几何、拓扑学以及点集理论。

把一个不对称的图形变成它在镜中的象的反射变换，在这里之所见特别强调，是因为它提供了许多色彩斑烂的悖论，又在较新的几何研究方法中和现代科学中具有很重要的作用。镜面对称在化学中，特别是在有机化学中扮演很重要的角色，因为在有机化学里，几乎所有的碳分子的形状都对称地分为左右两半。此外它在结晶学、生物学和遗传学以及现代物理学中也具有很大的重要性。

在本章中所谈到的某些奇妙现象，虽然初看起来好象只是一种消遣而已，但是我们将会看到，它们中间的每一个都自然地把人们引向诸如群论、逻辑学、序列理论、无穷级数、极限理论等重要的数学领域。学生们可遵循这里所提出的方法以悖论为通途进入这些数学领域。一般来说，中学生们总是特别关心用圆规和直尺作图，以及一步步地证明几何定理，他们忽视了几何与其它数学分支之间的动人的联系，忽视了几何在天文学、物理学以及其它各门科学中的应用。

设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：



我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。

学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？

为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是



上式中的恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是

1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……

这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。

只有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方形和正方形的面积相等。如要更多地了解黄金分割比率以及它与上述正方形—长方形几何悖论之间的关系，请参看《科学美国人》杂志数学之谜和数学游戏第二集一书中关于黄金分割比率的那一章。

两个全等正方形怎么会有不同的面积呢？在兰迪的第二个地毯悖论中，所丢失的面积是一个实实在在的窟窿。与前一问题不一样的是，这里的两个图形在各自的那条斜线上都是完美地接合在一起，并无重叠和空隙。学生们能够找出那个不见了的单位正方形到哪里去了吗？

为了帮助学生们找到答案，可建议他们做两个全等的、上面没有孔洞的正方形，做得越大越好。把其中的一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，把它们重新安排一下拼成那个带孔的图形，最后把它放到未经剪切的正方形上边。待两者的上边和两侧边都重合后，他们就会发现那个带孔的图形不是真正的正方形。它实际上是个长方形，比正方形高1/12分米，于是它的底部就多出一个12分米×1/12分米的窄带，其面积恰好与地毯上的孔洞面积一样。

这样解释了那个正方形的一个单位是如何消失的，然后学生们就可以再设法找出正方形高度增加的道理。其秘密在于：在没有孔洞的那个正方形的分割图形中，直角三角形斜边上那个顶点并不是整数网格点[*]。学生们发现了这点之后，他们就可以自己设计出许多各种各样的正方形，使得在拼成长方形后，“多得”或“失去”的多于一个单位的面积。

上述这一奇妙的事实以“卡瑞正方形”的名字为大家所熟知，这是因为它的发明者是一个名叫保罗·卡瑞的业余魔术师。这种悖论还具有好几种其他表现方式，三角形也是其中之一。学生们要想探讨卡瑞正方形或卡瑞三角形，则需阅读马丁·戈德纳所著《数学，魔术和奇迹》一书的第八章和《科学美国人》杂志中的《数学新分支》一书的第十一章。



 



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[*] 这个点到该正方形底线的距离并不等于9分米。在这个没孔洞的正方形图形上进行计算，使用相似三角形原理可算得这个距离是，而在拼成的有孔洞的图形中，这条线的长度却被视为9分米！——译注

第四章 几何学悖论
1．Hannes Alfven，世界—反世界：宇宙论中的反物质，W. H. Freeman，1966

2．Bradford Arnold，基本拓扑学的直觉概念，Prentic-Hall，1962

3．Stephen Barr，拓扑学实验，T. Y. Crowell，1972

4．Richard Courant & Herbert Robbins，数学是什么？，Oxford University Press，1941

5．H. S. M. Coxeter，几何导论，John Wiley，1961

6．Ya. S. Dubnov，几何证明中的错误，D. C. Health，Topics in Mathmatics Series，1963

7．Martin Gardner，两面性的宇宙，Basic Books，1964

8．Samuel Greitzer & H. M. Coxeter，几何学重览，Random House，New Mathmatical Library，1967

9．David Hilbert & Stephen Cohn-Vossen，几何学和想象，Chelsea Publishers，1952（本书有中译本，名为《直观几何》——译者）

10．Harold R. Jacobs，几何学，W. H. Freeman，1974

11．Harold R. Jacobs，数学—人类的魄力，W. H. Freeman，1970

12．Edward Kasner & James R. Newman，数学和想象，Simon & Schuster，1940

13．C. Stanley Ogilvy，几何世界漫游，Oxford Unversity Press，1969

14．Hermann Weyl，对称性，Princeton University Press，1952

《科学美国人》中的有关资料

解析几何的发明，（Carl B. Boyer），1949年1月号

拓扑学，（Albert W. Tucker & Herbert S. Bailey, Jr.），1950年1月号

列昂纳德、欧拉和哥尼斯堡桥，（Leonhard, Euler edited by James R. Newman），1953年7月号

儿童是怎样形成数学概念的，（Jean Piaget），1953年11月号

几何学和直觉，（Hans Hahn），1954年4月号

空间的弯曲，（P. Le Corbeiller），1954年11月号

现代宇宙论，（George Gamrow），1954年3月号

射影几何学，（Morris Kline），1955年1月号

直线，（Morris Kline），1956年3月号

演化着的宇宙，（George Gamrow），1956年9月号

几何学，（Morris Kline），1964年9月号

反物质和宇宙论，（Hannes Alfven），1967年4月号

欧几里德之前的非欧几何，（Imre Toth），1969年11月号

第五章 统计学悖论
1．H. C. Freyer，《统计学要素》，Wiley，1954

2．Lawrence J. Kplan，《经济学与商业方面的基本统计学》，Pitman，1966

3．Horace E. Levinson，《机会、运气和统计学》，Dover，1963

4．M. J. Moroney，《出自计算的事实》，Penguin Books，1956

5．F. R. Mosteller，Robert E Rouske & G. B. Thomas，《概率论和统计学》，Addison-Wesley，1961

6．W. Allen Wallis & Harry V. Roberts，《统计学的本质》，Free Press，1965

《科学美国人》中的有关资料

通讯的数学，（Warren Weaver），1949年7月号

运筹学，（Horace C. Levinson & Arthur A. Brown），1951年3月号

质量管理的实践，（A. G. Dalton），1953年3月号

证实，（Wesley C. Salmon），1973年5月号

基于，（A. J. Ayer），1965年10月号

第六章 关于时间的悖论
1．Lewis Carroll，刘易斯·卡洛尔全集，Modern Library Giomts

2．Groff Conklin编辑，《关于因次的科学幻想故事》，Vanguard，1953

3．Bryce S. Dewitt & Neill Graham编，《量子力学的多世界解释》，Priston University Press，1973

4．Simon Fleet，《钟》，Octopus Books，1972

5．Richard M. Gale编，《时间的哲学》，Fernhill，1968

6．Martin Gardner，“时间可以逆转吗？”，《科学美国人》，1966年1月号

7．Martin Gardner，《科学美国人》，数学游戏第六集，W. H. Freeman，1971

8．Adolf Grunbaum，《现代科学与基础悖论》，Wesleyan Unversity Press，1967

9．Bertrand Russell，《我们对外部世界的知识》，Humanities，1961

10．Wesley C. Salmon编，《基诺悖论》，Bobbs-Merrill Library of Liberal Arts，1969

11．Philip van Doren Stern编，《时间的旅行者》，Doubleday，1947

12．Edwin F. Taylor & John A. Wheeler，《时空物理学》，W. H. Freeman，1966

13．G. J. Whitrow，《时间的自然哲学》，Haper Torch Book，1961

《科学美国人》中的有关资料

光速，（J. H. Rush），1955年8月号

时间反演，（John M. Blatt），1956年8月号

心理的时间，（John Cohen），1964年11月号

时间能逆转吗？，（Martin Gardner），1967年1月号

时间反演实验，（Oliver E. Overseth），1969年10月号

比光还快的粒子，（Gerald Feiberg），1970年2月号

这个我得仔细认真的看 刚刚看了一个类同的小短文 没有你的全面

呵呵 这本书挺好看的 还有几本贴不上来~~郁闷�

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