写成矢量形式为：

这是一个动力系统，是因为若是给定了初始值x(0)，我们原则上可以解出x(t) (t>0)。图（2-1）显示了在三维空间中，系统状态随时间经历的状态，图中的（x(1),x(2),x（3））空间即为相空间�

在离散系统中的例子则是映射，写成矢量形式即：

Xn有N个元�

一旦给定了Xn，我们就能通过

得到n=1时的系统状态。有了X1，我们就能通过

得到n=2时系统的状态。如此类推，我们就得到了离散时间系统的轨迹：

相空间法，是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数字转化为图形的方法。在相空间中，动力系统在某一瞬间的全部性态都集中于一点上，即该瞬间的动力系统。而系统的演变情况，则可通过动点来描述。动力系统随着时间的流逝，这些点将在相空间中描绘出其自身的轨迹。

动力系统随时间的变化，当发生在连续的时间系统中时，我们称它为“流” ；当发生在离散的时间系统中时，则称之为“映射” 。

2 吸引子及其分类
吸引子（attractor）位于状态空间中，是一种用以刻划状态空间中的长期行为的几何形式，也是系统行为的最终归宿。

（以下的分类参见：胡瑞安、胡纪阳、徐树公著，《分形的计算机图像及其应用》，中国铁道出版社，1995年）

第一类吸引子是状态空间中的不动点，是最简单的一类吸引子。在状态空间中随着时间的流逝，系统的轨迹趋于一个固定的点上，这个固定的不动点就叫做不动点。

第二类吸引子是状态空间中的闭环，或极限环，这是复杂性居第二位的吸引子，它描述的是稳定振荡，例如，钟摆的周期运动，和心脏的跳动，是刻划周期性行为的吸引子。

第三类吸引子为环面吸引子，它描述的是复合振荡的拟周期行为，它的轨道在状态空间中的一个环面上绕行。

以上这三类吸引子，统称为非混沌吸引子，它们的行为是可以预测的。

第四类吸引子是奇异吸引子，又称混沌吸引子。Lorenz吸引子就是它的第一个观察到的实例。它具有复杂的拉伸、折迭与伸缩的结构，可以使指数型发散保持在有限的空间中，就好象厨师揉面团做拉面一样，其过程如下：首先是“拉伸” ，面团的临近部分按指数规律拉长，数学上称之为发散。然后，再将拉伸长的面团“折迭”回来。随后，又是拉伸、折迭，不断的重复这一操作，反复进行。由此可知，混沌吸引子应是一种分维形态的结构，它是不可能用欧几里德几何学来描述的。

吸引子的产生，可以解释为：耗散系统在其运动与演化的过程中，相体积的不断收缩因而产生吸引子。收缩是由于阻尼等耗散项的存在所至。吸引子的维数一般比原始相空间低，这是由于耗散过程中，消耗了大量小尺度的运动模式，因而使得确定性系统中长时间行为的有效自由度减少。如果系统最终剩下一个周期运动，则称该系统具有极限环吸引子。二维以上的的吸引子，表现为相空间相应维数的环面。

3 混沌吸引子
 混沌吸引子又称奇异吸引子，它是混沌中特有的。混沌吸引子在形态、结构和发生机理方面，均与非混沌吸引子不同。

 混沌吸引子是整体稳定性与局部不稳定性共同作用的结果。耗散是整体的稳定因素，它使运动轨道稳定的收缩到吸引子上。但如果动力系统在其相体积收缩的同时，它在某些方向上的运动又是不稳定的，例如，在这些方向上存在着指数性的发散，那么，它的最终状态将会是怎样的呢？显然，必须在有限区域，即吸引子上，实现运动轨道的局部不稳定性，例如，是运动轨道分离。只有一种办法能做到这一点，那就是运动轨道无穷次的折迭。这种折迭保证了某些运动方向上的指数型发散，于是就产生了具有无穷嵌套自相似结构的吸引子，即混沌吸引子。

 混沌吸引子有几个“奇异”的特性，首先是它的分形性质，它作为相空间的一个子集，具有精细的嵌套自相似结构，得到的图形的维数不是一个整数。

 其次是混沌吸引子有两种运动方向，一切在吸引子之外的运动都向它靠拢，对应着稳定方向；而一切到达吸引子内部的运动轨道都相互排斥，对应着不稳定的方向。它作为一个整体是动力系统最终的归宿，对于微小扰动是稳定的，即最终运动方向会到达吸引子上；但是吸引子内部的运动却对初始条件非常敏感，进入奇异吸引子的部位稍有差异，运动轨道变会截然不同。这也是混沌的初值敏感依赖性根本原因之所在。必须指出，只有耗散系统才存在混沌吸引子，但并非只有耗散系统才存在混沌。

4 李雅谱诺夫指数
 在混沌系统中不可能对系统的状态进行长期的预测，是因为在初始状态的微小不确定性将会迅速的按指数速度扩大。预测能力的迅速丧失，是因为系统有这样的特性，那些初始状态比较接近的轨迹总体上会指数发散。在非混沌系统中，相互靠近的轨迹要么指数的收敛，要么慢于指数速度的发散（最坏情况），至少，在理论上，长期预测是可能的。

 这种轨迹收敛或发散的比率，称为李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）。它的重要作用之一就是判断系统的混沌行为，正的李雅普诺夫指数意味着混沌。李雅普诺夫指数反映了相邻轨迹的分离速率，一般情况下，李雅普诺夫指数的数目和相空间的维数一样多，每个指数描述一类相互靠近的轨迹对的行为。当然这并不意味着某一特定的李雅普诺夫指数只与相空间中某唯一的方向（例如坐标轴方向）有关。对于维数大于1的系统，存在李雅谱诺夫指数的集合，我们称之为李雅谱诺夫指数谱。

 现在我们给出李雅普诺夫指数谱的一种定义。给定一个n维相空间的连续耗散动力系统，假定系统的初始条件中一个无穷小的n 维圆球的长期演变是可以控制，并且由于演变过程中的自然变形，圆球将变为椭球。如果在t=0时刻，圆球的中心在吸引子上，椭球的所有主轴按最快到最慢增加速度的顺序排列，那么第i个李雅谱诺夫指数就根据第I个轴的增加速率pI(t)定义：

注意，椭球的线性范围按e^λ1增加，由前两个主轴定义的区域按e^λ1+λ2增加，前三个主轴定义的体积按e^λ1+λ2+λ3增加，如此等等。这个特性事实上表达了李雅谱诺夫指数谱的这样一种含义，即前j个指数的和由前j个主轴定义的体积指数增长的长期平均速率确定。

 正因为正的李雅谱诺夫指数的出现代表着系统中存在着混沌现象，所以如何计算李雅谱诺夫指数显得极为%D

5 分数维
 和混沌学研究一样，另一门崭新的学科——分形几何，也是现代非线性科学的重要组成部分。混沌主要讨论非线性动力系统的不稳定、发散的过程，但系统在相空间中总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象，事实上，混沌吸引子就是分形集。

 在传统的欧几里德几何学中，几何形体的对象具有一定的特征长度和标度，描绘的是对象规则的形状。而分形几何则是无特征长度与标度的，它擅长描述自然界普遍存在的景物，如山川、闪电等。描述物体分形特性的一个重要概念就是——分数维。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维的。人们习惯了整数的维数。而在分形理论，维数被视为分数。

 维数是空间和客体的重要几何参数，例如在状态空间中维数反映了描述该空间中运动所需要的不多不少的变量的个数，而在吸引子中维数则说明了刻划该吸引子所必需的信息量。

 分形数学中的维数并不是一个很简单、易于理解的东西。至今为止，数学家们已经发展出了十多种不同的维数，拓扑维、Hausdorrff维、自相似维、盒子维、容量维、信息维、相关维、填充维、Lyapunov维等等。在这里我们简要介绍信息维和Lyapunov维，这是因为在我们开发的工具箱中，使用了这两种维数的概念。在混沌参数检测工具箱中，我们计算了信息维，而在李雅谱诺夫指数工具箱中，我们则在计算李雅谱诺夫指数谱的同时计算了李雅谱诺夫维数。

5.1． 盒子维

在N维空间中，我们用边长ε的N维立方体覆盖集合S,将覆盖S所需的最少的立方体数记为。则集合S的盒子维为：