同样的题,其中数字不一样…你们自己吾吧!!
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2
2
,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=
5
.
(Ⅰ)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(Ⅲ)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.
考点:二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质
专题:证明题,综合题,转化思想
分析:方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.(Ⅰ)求出cos〈
AC
,
A&1B1
>=
AC
•
A1B1
|
AC
|•|
A1B1
|
中的有关向量,然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(Ⅱ)利用
m
•
A1C1
=0
m
•
AA1
=0
求出平面AA1C1的法向量
m
,通过
n
•
A1C1
=0
n
•
A1B1
=0
求出平面A1B1C1的法向量
n
,然后利用cos〈
m
,
n
>求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(Ⅲ)设N为棱B1C1的中点,设M(a,b,0),利用MN⊥平面A1B1C1,结合
MN
•
A1B1
=0
MN
•
A1B1
=0
求出a,b,然后求线段BM的长.
方法二:(I)说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角,通过解三角形C1A1B1,利用余弦定理,cos∠C1A1B1=
A1
C
2
1
+A1
B
2
1
−B1
C
2
1
2A1C1•A1B1
=
2
3
.
求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
2
3
.
(II)连接AC1,过点A作AR⊥A1C1于点R,连接B1R,说明∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角.连接AB1,在△ARB1中,通过cos∠ARB1=
AR2+B1R2−A
B
1
2
2AR•B1R
,
求出二面角A-A1C1-B1的正弦值为
3
5
7
.
(III)首先说明MN⊥A1B1.取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,推出ND⊥A1B1.证明A1B1⊥平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,延长EM交AB于点F,
连接NE.连接BM,在Rt△BFM中,求出BM=
FM2+BF2
=
10