有一个不成熟的想法,各位评判一下,也是反证设可分成f(x)g(x),记原多项式为F(x)
由于F(x)是一个恒大于0的偶次数本原多项式
故f(x)和g(x)也必为恒不变号(无零点)的同号本原多项式
则由F(0)=2014 故f(0) g(0)是2014的某个因子分解
假设f(x) g(x)恒大于0 设f(x)=x*h(x)+f(0) g(x)=x*q(x)+g(0)
举f(0)=2 g(0)=1007为例
显然,由于f(x)、g(x)恒大于0,故x>=1007时,h(x)=q(x)=0
否则由于x*h(x)、x*q(x)是整系数,它们必为x的倍数,且不能取负号,否则將使得f(x)、g(x)小于等于0
由此,可知h(x)和q(x)含有(x-1007)(x-1008)....(x-2013)项
反过來,当x<1007时,h(x)、q(x)可被(x-2013)(x-2012)项整除,这说明h(x)=q(x)=0
故f(x)、g(x)恒为固定值
除去f(0)=1,g(0)=2014以外,其他情况可以同上处理得到矛盾