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一元二次方程与二次函数
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一元二次方程与二次函数是初中数学的一大重点,各地中考的压轴题也经常会涉及此类部分,本帖先介绍一些基础知识和方法,后面还会不定期更新一些中考真题。
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一、一元二次方程
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只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
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解二次方程,一般有因式分解法,配方法,公式法等。
因式分解法:1.解方程:x²+2x+1=0
解:利用完全平方公式因式解得:(x+1)²=0
解得:x1= x2=-1
2.解方程x(x+1)-2(x+1)=0
解:利用提公因式法解得:(x-2)(x+1)=0
即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2,x2=-1
3.解方程x²-4=0
解:(x+2)(x-2)=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2,x2= 2
十字相乘法公式:
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
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配方法:
(可解全部一元二次方程)
如:解方程:x²+2x-3=0
解:把常数项移项得:x²+2x=3
等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x²+2x+1=4
因式分解得:(x+1)²=4
解得:x1=-3,x2=1
七星耀彩
贡士
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公式法:
(可解全部一元二次方程)求根公式
首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根(复数根就不说了)
2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
3.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b²-4ac)}/2a
来求得方程的根
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对于直接解方程的体来说,要注意题目让用什么解法就用什么解法。若没有限制,可以:
1.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法)
2.看是否可以直接开方解
3.使用公式法求解(有点麻烦)
4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。
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二、一元二次方程的判别式及应用
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一元二次方程ax²+bx+c=0中△=b²=4ac称为判别式,△与0的关系决定了根的情况。
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利用判别式主要解决以下两个问题:1、根据方程所给的条件,确定方程根的性质。2、根据条件,确定参数的取值范围。
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判别式的应用:1、在解答关于整系数方程有整数根一类问题时,要注意它的判别式应为完全平方数。
2、当出现了形如一个二次方程与两个代数式之积的差时,可以通过构造一个一元二次方程来解决问题。3、在求某个字母(参数)的取值范围时,可利用根的定义或根与系数的关系(韦达定理,后面会提到)构造方程,再用判别式求出参数的范围。
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发几道这方面的题:1、当a、b为何值时,x²+2(1+a)x+(3a²+4ab+4b²+2)=0有实数根
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2、已知实数a、b、c、r、p满足pr>1,pc-2b+ar=0,求证:二次方程ax²+2bx+c=0必有实数根
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3、当x为何有理数时,代数式9x²+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积?
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