（3）
假设有2个笛卡尔坐标系K和K`
【PS：在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate system），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
简单地说就是初中里学到的平面直角坐标系和高中学的立体直角坐标系】
坐标系K又横轴X、纵轴Y和竖轴Z，我们用横坐标x、纵坐标y和竖坐标z来确定坐标系K
同样，另一个坐标系K`也是这样。

为了简化问题，我们把这个三维的坐标系化成一维的
即只有横坐标x和时间t。
我们假定坐标系K相对坐标系K`是静止的，而坐标系K`相对坐标系K做匀速直线运动，
坐标系K`也是由横坐标x`和时间t`来确定的。
我已经知道x和t的值，现在要求x`与t`的值
我们只考虑X轴，而且假定K`坐标系的X`轴是与K的X轴完全重合。
假设在这个一维的空间中的某处有一个手电筒，手电筒发出一束光，这束光与X轴重合
且沿着X轴传播。
那么，根据光速不变原理，这束光相对于坐标系K是以光速运动的，而K`相对于坐标系K是做
匀速运动的，再根据狭义相对性原理，坐标系K`中观察到的光速也是以光速c传播。
假设光沿着X轴的正方向传播，而K`相对于K也沿着这一方向运动，
则我们可以得出公式
X =ct。
稍微变形就是
X-ct=0
根据光速不变原理，坐标系K`得出的结论也是
X`-ct`=0.
那么我们可以看出，这两个坐标系得出的结论中有某种变换关系，就像伽利略变换一样。
列举出来，就是
（X`-Ct`)=γ(X-Ct)
其实有的人一眼就能看出来，γ指洛伦兹因子，但是我们现在还不知道，暂且认为γ是一个常数。
再来看看如果光沿着X轴负方向运动，而K`相对K沿正方向运动，则得出结论
（X`+Ct`)=π（X+Ct)
这里π也是一个常数，当然不要误会，这不是圆周率。
我们把这两个式子（X`-Ct`)=γ(X-Ct)和（X`+Ct`)=π（X+Ct)
相加和相减，得到一个一次方程组。其中有两个未知数x和t，所以这是一个二元一次方程组。
X`=X(γ+π）/2 -Ct（γ-π） /2
X`=Ct(γ+π）/2 -X（γ-π） /2
我们把（γ+π）/2和（γ-π）/2分别记住a和b
那么得到：
X`=ax-bct
X`=act-bx
假设x`=0，则
x=bct/a
把x换成速度v
得到
v=bc/a
我们可以得出结论，v是坐标系K和K`相对运动的速度。
再假设t=0，又X`=ax-bct
则X`=ax
那么
△x=1/a
这是我们所得到的瞬时位移。
再把v=bc/a代入到这个结论里，得到
X`-a(1-v²/c²）X
又△x=1，这我们得到是瞬时位移应该是
△X`-a(1-v²/c²）
又△x=1/a和△X`-a(1-v²/c²）相等，
得到
a=1/(1-v²/c²）
所以我们得到了a的值，即（γ+π）/2的值，
同样的方法可以得到b的值，我们把得到的a和b的值代入方程组
X`=ax-bct
X`=act-bx
得到一个方程组：

这就是洛伦兹变换，
反过来：
用矩阵表示是
其中

第六章 洛伦兹变换
洛伦兹变换，我们在前面几章反复提及，而洛伦兹变换作文狭义相对论的基础，我们很有必要讲一讲。
所谓变换，实际上就是一组方程。
洛伦兹变换是伽利略变换是升级版，整个经典力学建立在伽利略变换之上，叫做“伽利略不变性”，而
狭义相对论建立在洛伦兹变换之上，叫做“洛伦兹不变性”。我们已经知道，经典力学有一定的局限性，
所以经典力学是狭义相对论在低速状态下的特例。
也是，在低速状态下，洛伦兹变换就退回伽利略变换。
我们在看洛伦兹变换之前，先来看看伽利略变换。

这个方程组一眼看上去没有什么意义，尤其是后面三项，y`=y,z`=z,t`=t。
我们要解释它首先要建立两个笛卡尔坐标系K与K`
【PS：在数学里，笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate system），也称直角坐标系，是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
简单地说就是初中里学到的平面直角坐标系和高中学的立体直角坐标系】
坐标系K又横轴X、纵轴Y和竖轴Z，我们用横坐标x、纵坐标y和竖坐标z来确定坐标系K
同样，另一个坐标系K`也是这样。
这两个坐标系的Y轴和Y`轴、Z轴和Z`轴是相等的，而X`轴与X轴完全重合，
而且X`轴在X轴上匀速运动。
那么，我们可以说，坐标系K相对于K`静止，而坐标系K`做匀速直线运动，
也可以说坐标系K`静止，而坐标系K做匀速直线运动（注意有没有“`”）
假设坐标系K是水平面，坐标系K`是一列火车。
那么我们可以说水平面静止，而火车以一个恒定不变的速度v直线运动，
但是火车中的乘客不这么认为，如果水平面外面有建筑物（忽略建筑物对火车的各种力）
那么火车中的乘客会感觉火车是静止的，而水平面和建筑物在向后匀速直线运动。
这就得到一个结论。
在这样一个系统中，是没法直接观察出谁做匀速直线运动的，也就是在这个参考系中，
静止和匀速直线运动是等价的。
这样的参考系叫惯性参考系或伽利略参考系，而惯性参考系中两个参考系的关系
满足伽利略变换。
假设火车从车站出发（从车尾出发算起），然后一直做匀速直线运动，
火车头一直运动了x长的距离，那么我们就规定火车是坐标系K`，而地面是坐标系K，
K与K`的横坐标永远重合，那么我们有坐标系K的X轴的长度是火车头运动的距离x，
因为我们可以有伽利略变换中推出火车从头到尾的长度是火车头运动的长度x和火车尾运动
的长度vt的差，即
火车的长度X`=X-Vt.
而火车的高度、宽度，和作为参考系的一部分地面的高度和宽度一样，那么
Y`=Y
Z`=Z
而它们的时间t和t`是一样的，那么
t`=t
在结合第一个等式X`=X-Vt.
我们就得到了伽利略变换

伽利略·伽利莱（Galileo Galilei，1564年2月15日－1642年1月8日），意大利物理学家、数学家、天文学家及哲学家，科学革命中的重要人物。其成就包括改进望远镜和其所带来的天文观测，以及支持哥白尼的日心说。伽利略做实验证明，感受到引力的物体并不是呈等速运动，而是呈加速度运动；物体只要不受到外力的作用，就会保持其原来的静止状态或匀速运动状态不变。他又发表惯性原理阐明，未感受到外力作用的物体会保持不变其原来的静止状态或匀速运动状态。伽利略被誉为“现代观测天文学之父、“现代物理学之父”、“科学之父”[5]及“现代科学之父”。
史蒂芬·霍金说，“自然科学的诞生要归功于伽利略。”
伽利略有一个著名的故事，就是比萨斜塔实验，我们不知道他到底有没有这个实验，
但是实验得出的结论是在没有空气阻力的月球上得到了验证的——
阿波罗15号的宇航员大卫·斯科特1971年8月2日在无空气月球表面上使用一把锤子和一根羽毛重复了这个试验，证明且让地球上的电视观众亲眼看到了这两个物体同时掉落在月球表面上。
伽利略的结论是：在没有空气阻力的情况下，大球和小球同时着地，
也就是一个物体做匀加速运动相对于完全失重，这就得出了一个
结论：
一个做匀加速运动的参考系和一个均匀的引力场等价。
这就是简单而著名的等效原理，
我们一眼并不能想象出这个非常简单的结论是广义相对论的基础。