特殊线性群生成元的问题【数学吧】

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特殊线性群生成元的问题

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第一类初等n*n矩阵是对角线上全部都是1，而非对角线上至多有1个数非零的矩阵
证明域F上的第一类初等n*n矩阵生成SL(n,F)。
这个是Artin Algebra第二章的练习，但做到了凌晨3点也没有头绪

，google了一下也没有什么结果。
我的方法是证明det A=1的A可以只用一行加到另一行的初等行运算弄出来，这个对2*2不难证明，但推广到n*n就比较nasty了：实在有太多细节需要证明+思考

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1楼2015-07-27 03:16回复

求思路
@樱花の空城
@KeyTo9

IP属地:中国香港

2楼2015-07-27 03:17

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3楼2015-07-27 03:29

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不会

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来自Android客户端4楼2015-07-27 03:39

貌似被解决了。。？其实我对线性群很头疼的。。

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来自Android客户端5楼2015-07-27 07:31

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已经被解决啦啊

p神在做artin,可以去看看罗炜老师的博客 http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1087794017#type=-1

来自Android客户端6楼2015-07-27 08:20

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这种矩阵叫消法矩阵。。左(右)乘消法矩阵，相当于对矩阵进行第某列(行)的某倍加到第某列(行)
所以考虑A∈SL(n)能不能初等变换到E，然后把每一步逆回去就得到A的消法矩阵分解了。
1.第1行第1列除了(1,1)元素外若有非0元素时，借助它以消法矩阵把(1,1)元素变为1;
2.第1行第1列除了(1,1)元素外没有非0元素时：
2.1：A(1,1)的元素不为1：其余行列总得有非0元素（否则搞得|A|=0了），弄一些到第一行或者第一列，然后返回第1步。
2.2：A(1,1)的元素为1时，用消法矩阵把第1行，第1列其余元素逐个变为0
类似以上步骤，最后能化为对角阵，前n-1个对角元必为1，因每一步的消法矩阵的det=1，由行列式性质知最后一个对角元必为|A|=1
也即A能为解为消法矩阵的积
是这样证吗

IP属地:广东

来自手机贴吧7楼2015-07-27 09:45

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