我也有複製一份 (以防系統刪掉我的回覆
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做出 259 了. 但是後面三行對任意三角形都是對的
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設 AJ 與 (O) 再交於 N, (J) 與 BC 切於 P. 熟知 EF 為 (O), (J) 的外位似中心 T 關於 (O) 的極線, 所以 R_O = R_J 若且唯若 T 在無窮遠處 若且唯若 O 在 EF 上.
如果 R_O=R_J, 則 ON || PJ 且 ON = PJ, 所以 ONJP 是平行四邊形 ---> OP 平行於 A 的內角平分線, 注意到 D, P 是 BC 上的等距共軛點可得 角 ODB = 角 OPC = (180 - (角 C - 角 B))/2. 容易看出這個證明是可以逆推的, 所以 R_O = R_J 若且唯若 角 ODB = (180 - (角 C - 角 B))/2.
設 AM 與 BC 交於 V 並且設 H 為 I 在 JV 上的垂足, 則 H 就是 (BIC) 與 (AID) 的另一個交點且 V 在 (AID) 上. 因為 JV 是 I 關於以 B, C 旁心為直徑的圓 (M為圓心) 的極線, 所以 MI 垂直 JV ---> M 在 (BIC) 與 (AID) 的根軸上. 因為 V(A, D; I, H) = -1 (考慮這些直線與 AJ 的交點可得), 所以 AIDH 是調和四邊形 ---> MI 是 AID 的 I- 共軛中線. 最後注意到 (AID), (BIC) 的外心連線是 IH 的中垂線, 所以它與 (O) 的交點就是 N 在 IM 上的垂足.