我们来到称为“平面国”的一个地方。我们中有些人是正方形,有些是三角形,有些具有更复杂的外形。我们匆忙进出于我们的平面建筑,从事平面公务,荒唐度日。平面国的每一个人只有宽度和长度,却没有一点高度。我们只知道前后左右,但若没有提示,一点儿也不理解什么是”上和下”——只有平面数学家才知道它。他们说:“听着,这事真是非常容易。想象一下左右方向,想象一下前后方向。这样想象不难吧。呃?现在来想象另一种维度,与其他两边成直角。”而我们则莫名奇妙,问:“你们在说些什么呀?‘与其他两边成直角’,是吗?可世上只有两维。要我们指向的那个第三维,可它在哪儿呢?”这些数学家们一听就泄了气,没精打采地走了。谁也不去理睬什么数学家。
平面国上的每一正方形伙计只看到另一正方形的某条线的一段,即只看到离它最近的那一面。稍微走开点它才能看到正方形的另一面,但正方形的内部却永远是个谜,除非某个意外事件或对它进行解剖而打破它的各个面。使其内部状况暴露出来。
有一天,一个三维生物——假定外形像个苹果——来到“平面国”’。在其上空盘旋。当它观察到有个特别引人注目并令人赏心说目的正方形正进人它平面房子的时候,这个苹果形的生物便拿定主意要向这个正方形致意——用维际间友好的手势表示问候:“您好!”第三维的访问者说道:“我是来自第三维的访问者。 ”可怜的正方形环顾了一下它关闭着的房子,什么也没看见。更糟糕的是,在它看来,从上方进来的问候声似乎是从它自身的平面体内发出来的。也许它此刻兴致勃勃细地想到:神经有点错乱正是它这个家族世代相传的通病。
苹果的问候竟然被正方形误认为是其本身的一种心灵失常,这大大激怒了这个苹果。于是,它降落到“平面国”上来。在“平面国’”上,三维伙计只能部分存在。只有一个截面能被看到,即那些与平地的乎面所接触的点。一个在平地上蜿蜒滑动的苹果,首先总是作为一点出现的,然后逐渐变大,成为近乎环形的薄片。正方形看到了在它的二维世界的紧闭房间中出现了一个点,这个点慢慢变大,逐渐成了一个圆形。一个不断变化形状的陌生伙计蓦地出现了。
由于对这个平展展的愚笨家伙感到失望和不满、苹果便撞了正方形一下,让它腾空而起,飘飘然旋而进入那个神秘的第三维。起先,正方形对正在发生的一切感到莫名其妙,它从未经历过这种事情。但它终于意识到自己正从一个独特的有利角度上观察平面国,即“居高临下”。它可以透视关闭的房间,透视它的平面伙伴们。它正从一个独特而绝妙的视角上观察着世界。穿过另一维,这一动作的附带利益是使正方形获得了一种X射线视觉。最后,我们的正方形像一片落叶一样慢慢降回到平面上,在它的平面国同胞们看来,这个正方形先是已经莫明其妙地从紧闭的房间中消失,而后又令人费解地蓦然显形了。它们说:“天哪!你到底怎么啦?”“我觉得”,它不由自主地答道:“我在上面来着。”它们轻轻拍打着它的各个边,安慰它。幻觉始终是它的家族病。