无理数这个名称是人定义的，但无理数本身当然是自然界中存在的客观现象，最经典的无理数有两个，一是圆周率，二是自然常数e。在历史上，无理数名字的来源，是个让人悲伤的故事。
在古希腊时代，研究数与自然奥秘的一些人武断的认为，自然界中只存在所谓的自然数和自然数的比值。而无法精确的表示成两个自然数之比的数是根本不存在的，也无法想象会有这样的数存在。这些人组成了一个围绕着数与自然奥秘的类似宗教组织的教派，被称为毕达哥拉斯教派，因为其祖师爷是毕达哥拉斯。而这种思想也正是毕达哥拉斯所倡导的。
他认为自然的奥秘尽在数字之中，认识数字的奥秘就能了解自然，这种思想同时具有一定的科学性和神秘主义色彩，其实广泛的存在于世界各地，比如由于我们的肉眼只能看到五颗行星，因此让七这个数字具有了神秘主义的味道，五颗行星加日月，天上的这七颗星被认为是最重要的。
回到正题，就在这个教派中，有一个成员，毕达哥拉斯的弟子之一，希帕索斯，却意外发现，标准正方形（边长为1）的对角线，无法精确表示为任何自然数的比值。注意，此处的数字1并没有任何单位，它是抽象的数字1。
这个问题的核心其实就是根号2这个数字，不能精确的表示成任何两个自然数的比值，它是无限不循环小数。而任何有限的或者无限的循环小数都可以表示成普通的分数。至于根号2则来自于勾股定理的必然。实际上，早在四千年前的另一个文明——美索不达米亚文明也发现了根号2，并且他们将这个数计算到了小数点后10000位，并将它记录在了石板上！
当然，只靠计算是无法证明根号2是不是无限不循环小数，因为也许循环发生在下一位呢？
所以，希帕索斯是用毕达哥拉斯学派中一种常见证明法，反证法，来证明根号2不可能表示成两个自然数之比。
假设对角线长度为a，且a=q/p，此处的q、p是化为最简分数比后的整数，即假设对角线长度可以表示为两个最简整数之比。即类似2/3这种情况而非4/6这种还可以继续化解的情况，对此，我们将其称为q，p之间互素。
根据勾股定理，1+1=a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q就只能是偶数，而q、p互素，所以p必须是奇数！
如果q是偶数，即q=2b(b是自然数)，带入2p2=q2中，得p2=2b2，那么，可以发现p也一定是偶数，这就与上段结论矛盾嘛。
然而，希帕索斯的发现，当时并没有被公诸于世，他反而先被囚禁后被扔到海里淹死了，至于这是毕达哥拉斯的意思还是他的其它弟子们做的，历史的真相已经难觅。不过，希帕索斯虽然被害，但这个问题和他的证明并未消失，其它同情他遭遇的一些人，最终将这段历史记录了下来，流传到今天，而历史上给根号2这类奇怪的数命名的是鼎鼎大名的达芬奇，他将其命名为无理数，指的是人的无理，以纪念希帕索斯。

那发现第一个无理数后，这个数是用什么表述的？因为根号是在六百年前才发明