从海南到北京，飞机飞了5个小时。


中间到安庆的时候，旁边一位乘客问我手里的书是什么书。
我给他看，书名是《电磁场和电磁波》。


他问我一个问题，我听了好几遍，才听明白：这书是关于“粒子悖论”的吗？


我说不是，这只是关于经典电磁学的，关于麦克斯韦方程组的。

这已经是第三次买这本书。第一次是二手的，第二次是新的，这次又是二手的。


总是买是因为总是在需要的时候，它恰好不在身边，而它在此时此刻又是不可或缺的。


拿着它是因为要再看一遍，从梯度到散度到旋度这三个概念，在新的基础上是否可以有新的理解。


当然，也确实有新的理解。

我略微能感觉到一点“不满”，就像是一个问题并没有被很好的解答。


不过我也有我的理由：从经典电磁学到量子力学，似乎又是那种从初等数学跳到高等数学的情况，
中间缺少一个必要的却又不是很明显的过渡阶段。若不是涉及极其基础性的问题，这个过渡阶段
似乎可有可无，但是，这一点对于我现在的工作，确是至关重要的。


所以，我确实不关注，一个电子到底是怎么通过双缝的，又是为什么有观察者和没有观察者，结果会不一样。
我不关注它，不是因为它不重要，而是因为，补上这个中间的过渡阶段，用不着我解答，你自己就能想明白。


而反过来，没有这个部分，恐怕我怎么说都是徒劳的。

在这五个小时的“无聊”的旅程中，有些东西想明白了。


看来，人在天上飞一会，还是有好处的。


什么东西想明白了？


什么是角度。

我想要的是什么呢？


我想要的是一个度量角度的方式，它可以“统一三维空间的所有方向”。


什么意思？
意思是，你看，如果你用空间直角坐标系，那么，一条直线要在XYZ三个轴上投影出三个角。
如果你用球坐标系，你也得至少用两个角，表示一个方向。


有没有可能，用一个数值，一个角度，表示三维空间的所有方向？

为什么要这样？
为了“消解几何”。其实原因先前已经说过了，简单重复一遍：几何需要视觉能力的支持，同时也受到视觉能力的限制，不使用几何的方式而是使用纯粹数量的方式，将有可能打破这种限制。


你可能不觉得有什么限制。
请考虑这样一个问题：


比如我们把我们存在其中的空间划分为三个维数（严格说是4个，因为还有“点”，这个0维的存在），那么，我们似乎就可以在三个维数上对一个物体进行操作，最关键的是，使用正交方式，三个轴之间可以“互不相关”。


然而，你信吗？
我不信，我不信真的互不相关。
因为这是一个很简单很基本的问题：如果三个轴之间真的可以互不相关，那么三个轴交点上的那个物体，它三个轴可以互不相关的话，它又是如何构成一个整体的？


它非但不是三个轴互不相关，它必须是三个轴密切相关才行，不然它已经散架子了。

在这里我会遇到两种反驳：
一种是：说三个轴互不相关的正交性，说的不是物体里面的事。
一种是：这是一种数学上的处理方式，不要用物理去否定数学的有效性。


对于第一种，我要说的是，里面和外面你怎么区分？它的界限在何处？
对于第二种，我要说的是，数学抽象于真实世界，而真实世界运行的法则就是物理法则，
你会不会又抽象多了？把本来没有的能力又当成了现实存在的东西？


也就是说，有什么东西是真正可以用正交方式来处理的吗？


如果没有，如果这只是一种便于处理的方法，那么它会不会掩盖了物理现实中的真相？

我知道我说不明白，我知道我只能尽力表达。


三个维数上的投影在宏观尺度上总是可以随意改变的，比如改变一个桌子的位置，甚至一粒沙子。
那么，在围观上呢？
改变一个电子的位置，能不能说，只在X上改变而不影响Y和Z上的情况？
我是说，就像改变一个桌子的位置那么简单，用不着使用各种方法而特别去调整它。


如果你试图改变一个电子的位置，你能用的无非就是电场和磁场（引力场目前被认为无法人为操纵），
哪怕你用另一个电子或者其它带电粒子和这个电子相互作用，它最终作用的方式仍然是依赖电场或者磁场。


那么在这种情况下，怎么“精确的”只改变一个方向上的位置？

顶顶

内和外不可能真正严格区分，越是微观越是如此，而微观是宏观架构的基石，宏观是微观存在在数量和结构上的表象。如果说谁更靠谱，显然是微观。


在微观上，三个维数也好，四个维数也好，由于存在物本身不可能被观察者的观察方式割裂，也就是说维数以及正交的概念，只是人类认识世界的一种方式（来自于宏观的认识），那么很自然可以想到，微观世界的真实存在，是不依赖于维数概念的。


这就像是说，一朵花，你叫它花还是flower，没有区别。它不会因为你用花这个字，它就变成“上下结构”的，也不会因为写成flower而变成6段。


你是不是觉得这些话特别扯淡？
确实是，然而，你知道吗？认为世界必须可以按照正交方式而分解为维数的想法，比这个说法扯淡多了。


你只是接受了而已，你只是还没有开始质疑它而已。


当你意识到，如果三个方向真的可以无关就意味着任何存在物都没法存在，那你就知道这种方式有多么没有道理了。

应该这么说，认识到正交关系，以及以此建立维数的概念，是一个伟大的发明（也可以叫做发现）。
你可能认为，我要否定它的正确性。
其实不然。没有必要否定它的正确性，就像牛顿力学大多数情况下都是好使的一样。


我要说的是，如何用一个角，来解决这种人为造成的分裂状态，而使得一个本来就是一个的，可以就是一个。

这件事得益于对i的理解。
i=Sqrt（-1）
以及对于
e^ti = cos t + i sin t


当我们知道那个负一的平方根的本意，就是“周期”，它可以被认为是一个可以被赋值的变量，的时候，
e^ti为何能够构成弹簧曲线，以及它的真实样子，就很清楚了。

弹簧曲线，就是
e^ti=cos t + i sin t
画出来的样子。它就像一个弹簧，或者旋转楼梯。


你看，用直角坐标系表示方向，你得用三个投影；用球坐标系表示方向，你得用两个角；用柱体坐标系，你得用一个角和一个长度。但是用弹簧呢？


弹簧的直径已经知道（这时候i被赋值为常数），那么在弹簧某位置选择一点，然后计算一个正的或者负的长度，你实际上就得到一个角度。


仔细想一下，这个角度是不是可以指向三维空间的所有方向（有可能有极点，具体决定于你怎么选择起点）？

从弹簧上选定的点开始，顺着弹簧的弧度增加或者减少一个长度，得到终点。
从起点到终点之间画一个箭头，选择终点的不同位置，是不是可以指向空间中的所有方向？
如果弹簧上选择起点不能，那么弹簧的某个层次上的中点（不在弹簧体本身而是在中间），是否可以？