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回复:曲线积分, 格林公式, 平面上曲线积分与路径无关
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baqktdgt
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题目
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构造曲线积分,使用格林公式。
曲线L是圆周C,所以有 f(x,y) = 0,所以蓝色等于零。
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下图的最前面两行是柯西不等式。
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baqktdgt
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计算定积分。
不定积分的计算,看下面这个贴子链接的公式74
https://tieba.baidu.com/p/6245118784
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baqktdgt
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题目
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在 y > 0 的单连通域上,曲线积分值恒等于零,所以偏导数相等。
后续的证明看这个链接的114楼。
https://tieba.baidu.com/p/6564700314
注意:要对 t 求导。
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baqktdgt
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题目
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在题目所给曲线围成的封闭区域上,偏导数显然连续。
任意闭曲线的积分恒等于零,所以偏导数相等。
因为题目求f(y/x),所以令 u = y/x 转为 f 对 u 的微分方程。
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解带初值条件的微分方程。
这里用的凑导数法。
也可以令 z = f'(u),转为 z 对 u 的一阶线性微分方程,然后套用通解公式。
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baqktdgt
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摘自北大数学分析教材--伍胜健
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baqktdgt
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148楼的最后一图比较重要,重新开一个楼层。
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定理16.7.3,在(1),(2),(3)中,D可以是单连通域,也可以是复连通域。
P(x,y)和Q(x,y)只要求在D内连续。
u(x)要求在D内可微。
而在(4)中,要求D是单连通域,并且P,Q在D内具有连续偏导数。
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下面我们讲一下,(4)如果只有P,Q在D内具有连续偏导数的条件,而D是复连通域,会怎么样?
答案:D是复连通域时,曲线积分与路径无关使用格林公式可以推出(4),但(4)不一定能推出曲线积分与路径无关。
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baqktdgt
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题目
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答案等于零。
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由149楼,可知曲线积分与路径无关。
所以闭合曲线的积分为零。
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格林公式。
第六行,使用二重积分的轮换对称性。
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