复连通区域的曲线积分与路径无关,条件请去看95楼和96楼。
如果条件没有完全满足,请记住:
不要在答案中,写上复连通区域的曲线积分与路径无关。
.
题目
.
.
附一个图
.
.
平面上任取两点A和B,过A和B任意画一条简单闭曲线L,且满足原点在L内部。如上图的红线。
再过A和B,做一条不过原点的简单曲线L2,且满足曲线L2在曲线L内部。如上图的蓝线。
则曲线L2将曲线L所围的区域D,分为两个部分。
我们将包含原点的区域记为D2,将未包含原点的区域记为D1。
则D1是不包含原点的单连通区域。
.
L2将L分为两条曲线,曲线L3和曲线L4。
我们将D2的边界记为L2 + L3, 将D1的边界记为L2 + L4。
.
曲线方向:
我们假设L3 + L4是D区域的边界正方向,L2 + L4是D1区域的边界正方向。
负方向同理。
.
由题意,D1区域包含原点,L2 + L4的曲线积分是个常数。D区域包含原点,L3+L4的曲线积分是个常数。因为他们的曲线方向都是正向,所以两个常数是同一个常数。
由曲线积分的可加性,得 L2 + L3反向 的曲线积分是零。
所以从A点到B点,沿曲线L2和沿曲线L3的曲线积分相等。
再由L2和L3的任意性,可知在不包含原点的单连通区域D1上面,从A点到B点的曲线积分与路径无关。
因为偏导数 ∂Q/∂x, ∂P/∂y 在除原点外的区域是连续的。
所以偏导数∂Q/∂x=∂P/∂y 在除原点外的区域是恒成立的。
.
.
实际上,只要曲线积分沿着任意闭合曲线的值恒为同一个常数,则∂Q/∂x=∂P/∂y在除了奇点的区域上恒成立。
.
.
第一问
因为奇点是原点,所以第一问当 x 大于零时,不包含奇点。
又因为偏导数相等,所以封闭曲线的曲线积分的积分值为零。
.
第二问:
先写出偏导数的表达式。
因为对于任意x和y,只要x和y不是原点,则偏导数相等恒成立。
所以x平方的系数要恒等于零,x的0次方的系数也要恒等于零。
然后得到答案。
.