几个经典例题,全部需要熟练掌握。
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a) 在使用格林公式之前,可以将曲线方程代入到曲线积分的被积函数。
b) 在使用格林公式之后,不可以将二重积分的区域不等式代入到二重积分的被积函数。
c) 当曲线内部含有奇点时,需要补线变为复连通区域,然后使用格林公式。
然后减去补线的第二类曲线积分。
针对补的线,单独计算第二类曲线积分。
如果补的线代入到曲线积分的被积函数之后,可以消除奇点,那么消除奇点之后,就可以继续用格林公式。
d) 当曲线不是闭合曲线时,需要补线变为闭合曲线,然后使用格林公式。
然后减去补线的第二类曲线积分。
针对补的线,单独计算第二类曲线积分。
注意曲线的方向,曲线的起点和终点。
e) 变力做功,转化为第二类曲线积分。
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格林公式,将曲线积分转为二重积分。
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格林公式,将曲线积分转为二重积分。
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转为二重积分之后,曲线方程已经转为二重积分的积分区域。
二重积分的积分区域是区域不等式,不可以代入到二重积分的被积函数。
转为二重积分之前,曲线方程是恒等式,可以代入到曲线积分的被积函数。
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原点是奇点。
考研范围内,曲线必定是不会经过奇点的。
所以有两种情况:
1) 曲线所围闭区域不包含奇点
2) 曲线所围闭区域包含奇点。
当包含奇点时,需要挖洞,补上辅助的曲线。
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此处补的圆的半径r,是一个足够小的量,保证圆在L的内部。
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将补的圆周的曲线方程,代入到分母,就可以消除奇点。
然后可以用圆的参数方程计算,也可以对 xdy-ydx 用格林公式,消去分母之后,就可以用格林公式了。
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第二类曲线积分的定义,变力做的功就是第二类曲线积分。
格林公式需要闭合曲线,所以需要补线。
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补的线AO,直接计算第二类曲线积分,注意起点和终点。
闭合曲线的积分值,减去补的曲线的积分值,就是所求的积分值。
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