下面开始讲最常见的一类格林公式含奇点的题型。
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这个楼层的题目,都是∂Q/∂x=∂P/ay,并且是无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭全曲线。
如果不包含奇点,则有向的连续闭合曲线的曲线积分必定是零。
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下面讲曲线包围奇点的情况。
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同济大学的高等数学教材,下册第十一章第三节格林公式及其应用,P208页。
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解法,构造一个半径足够小的圆周,对复连通区域使用格林公式。
对于半径足够小的圆周,将曲线方程代入到被积函数,就可以消掉奇点。
消掉奇点之后,就可以用格林公式,或者像上图一样使用参数方程,计算曲线积分。
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将分母的圆,推广为椭圆。也就是进行坐标系的伸缩。
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类似上图,构造一个足够小的包围原点的椭圆。
消去分母之后,也就是消去奇点之后,就可以使用格林公式了。
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图片的里面红色,参考上个图片,表示原点在曲线的区域内部还是不在曲线的区域内部。
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上个图片的一个例题。
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还可以将分母的椭圆的圆心进行坐标系平移。
这样还是满足偏导数相等的。
一样可以构造半径足够小的椭圆,代入分母消去奇点,然后用格林公式进行求解。
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两类最常见的偏导数相等的第二类曲线积分。
考试只会考这两种,以及这两种的变形推广。
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