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周髀解析几何与勾股证明

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来自Android客户端1楼2019-05-16 22:32
    ○篇首语
    (此楼请勿留言,谢谢)


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    来自Android客户端2楼2019-05-16 22:33
      ○绪论
      🌼
      《尚书.洪范》的五行学说是人类早期的曲线函数。理所当然,《周髀算经》则是古朴的解析几何专著。
      目录:
      一、周髀对勾股定理的严格证明。
      二、周髀解析几何初探。
      三、东方数学体系浅说。


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      来自Android客户端3楼2019-05-16 22:36
        【原文】
        .
        昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度。请问数安从出?”
        .
        商高曰:“数之法,出于圆方。圆出于方,方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之外,半其一矩。环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有,五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”
        .
        句股圆方图:
        右图:
        左图:
        .
        周公曰:“大哉言数!请问用矩之道?”
        .
        商高曰:“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方。方属地,圆属天,天圆地方。方数为典,以方出圆。笠以写天。天青黑,地黄赤。天数之为笠也,青黑为表,丹黄为里,以象天地之位。是故知地者智,知天者圣。智出于句,句出于矩。夫矩之于数,其裁制万物,唯所为耳。”周公曰:“善哉!”
        (摘于《周髀算经》)


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        来自Android客户端5楼2019-05-16 22:39
          ○商高证明勾股定理的周髀原文(残简):
          .
          故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有□□五□□□□□□□□□是谓积矩。
          .
          断句,补之,
          得:
          (甲)故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。
          (乙)既方之外,半其一矩。环而共盘,得成三四五。
          (丙)两矩共长二十有[八,舍]五,[倍之成方]。
          (丁)[聚两图而等],此之谓积矩。


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          来自Android客户端7楼2019-05-16 22:44
            ○分段译解


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            来自Android客户端9楼2019-05-16 22:52
              (甲)故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。
              〔译〕
              故折叠矩形,将句(勾)的广度修成三,将股的长度修成四,将直径的边修成五。
              (即将矩形折叠成直角三角形,边长为3,4,5。备用)


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              来自Android客户端10楼2019-05-16 22:53
                (乙)既方之外,半其一矩。环而共盘,得成三四五。
                〔注〕
                既:完。
                〔译〕
                做完后,在正方形之外。矩形剪成两半。环而共盘,所得边长成三、四、五。
                (即将矩形剪成的备用三角形,取出四个,环列于正方形的周边,其边长是3,4,5)
                如图:


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                来自Android客户端11楼2019-05-17 06:59


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                  来自Android客户端12楼2019-05-17 07:00
                    (丙)两矩共长二十有[八,舍]五,[倍之成方]。
                    〔译〕
                    [再做]两个矩形,令其边共长二十有八,舍去边长为五的矩形。倍之成正方形。
                    如图:


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                    来自Android客户端13楼2019-05-17 07:01


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                      来自Android客户端15楼2019-05-17 07:09
                        【补说】
                        .
                        《周髀算经》原文是“两矩共长二十有…五”,但此数有错。因为两矩边长的和,不可能得25。边长为三的矩形和边长为四的矩形相加,其和只能得28。显然,是古代的竹简或木简磨损了两个字。而仅余的“五”,则显然是指舍去边长为五的矩形。因此,合乎逻辑地将原文增补成:“两矩共长二十有[八,舍]五。”
                        即:
                        .
                        两矩共长二十有五 → 两矩共长二十有[八,舍]五。
                        .
                        可见真是有惊无险啊。虽然古代的简书损了二字,但却能用算术将它补回,真是幸运中的万幸矣!
                        此是理解商高对勾股定理严格证明的关键一环。读者务必想通,记住。


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                        来自Android客户端16楼2019-05-17 07:33
                          (丁)[聚两图而等],此之谓积矩。
                          如下:
                          .
                          上矩:
                          (a+b)²=4x½ab+c²=2ab+c²
                          下矩:
                          (a+b)²=a²+b²+2ab
                          .
                          由,
                          上矩之积=下矩之积
                          积矩:
                          a²+b²+2ab=2ab+c²
                          得,
                          a²+b²=c²


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                          来自Android客户端17楼2019-05-17 07:36
                            【补说】
                            .
                            《周髀算经》原文仅“此之谓积矩”。为何补成“倍之成方,聚两图而等,此之谓积矩”,增了9个字呢?
                            答:
                            “此之谓”是古汉语的定义句式。而“两矩共长二十有五”无法成为“积矩”的定义。显然其间必有阙文。“此之谓”的“此”(句)不见了。
                            《说文》:“积,聚也。”故“积矩”是将两矩聚一起。因此,“聚两图而等”正是对“积矩”的定义。为完成“积矩”,又前补了“倍之成方”。
                            总之吧,如前所述,“两矩共长二十有[八,舍]五”是关键的一环。其它句子皆由它推理而补。


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                            来自Android客户端18楼2019-05-17 09:01
                              【小结】
                              .
                              商高证明勾股定理的理解难点:
                              1、两矩共长二十有[八,舍]五。
                              2、“积矩”的定义句丢了。


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                              来自Android客户端19楼2019-05-17 09:05
                                【辅证】
                                .
                                (1)商高欲证3²+4²=5²,何必如此麻烦呢?根本没必要作图证明它。只须算数,则3²+4²=5²的两边皆得25,因此等式成立。所以,《周髀算经》作了图,必然不是为了证明3²+4²=5²,而是为了证明a²+b²=c²。
                                (2)《周髀算经》原有《勾股圆方图》左右2幅,已失。以上两图与铭文甚相合,估计正是原图。
                                (3)由于原著颇似铭文,上下3000年多年,残简污布,破文脱字,故铭文不全很正常。
                                (4)勾股定理的勾股弦相当于abc。商高取勾三,股四,弦五,即a=3,b=4,c=5。并非求其特例,其用处:
                                甲、将勾三股四弦五作为勾股定理的抽象数学模型,用于剪纸,拼图,验算,证明,背公式等。
                                乙、将勾三股四弦五作为勾股定理的应用数学模型,用于远距测量和兵阵运算。
                                西方数学以公式为特色,是抽象数学;东方数学以工具(模型)为特色,是实用数学。


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                                来自Android客户端20楼2019-05-17 09:24
                                  ○矩尺
                                  .
                                  平矩以正绳,偃(仰)矩以望高,覆(翻)矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方。
                                  〔译〕
                                  将矩尺平放可以令绳水平(吊丝垂直),将矩尺仰放可以测高[山],再把矩尺翻过来可以测深[渊],将矩尺卧倒可以测远,将矩尺环转可以画为圆,把矩尺合起来可以画方形。
                                  〔说〕
                                  中国古代是实用数学,以工具为特色。矩尺则是勾股定理的应用数学工具。由于「矩尺法」未写明“勾三股四弦五”,故可知矩尺用的是勾股定理的一般式。用“勾三股四弦五”的矩尺测高山多有不便。此是实物证据,证明了商高求证的是勾股定理的一般式,而非“勾三股四弦五”的特例。
                                  矩尺源于民间匠人用的曲尺(90°),但更大,有箭头指向,故“矩”从矢(箭头)从巨。矩尺的两边是勾和股。矩尺主要用于远距测量,以勾股定理而求之。


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                                  来自Android客户端21楼2019-05-17 10:09
                                    由矩尺法可见,早在3000多年前的商朝,我国先民即已熟用勾股定理及尺规作图了。


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                                    来自Android客户端23楼2019-05-17 10:14
                                      ○矩尺图
                                      🌼
                                      矩尺源于民间匠人的曲尺而更大。矩,从矢从巨。勾股弦之名亦源于矩尺
                                      .
                                      勾者,窥管之形,目测也。
                                      股者,腿立之形,测高也。
                                      弦者,绳拉之形,可长可短也。



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                                      来自Android客户端24楼2019-05-17 10:15
                                        ○周髀解析几何
                                        🌼
                                        矩尺是一大直角形,上有刻度,相当于是一个矩形的两条边。
                                        商高说:“数之法,出于圆方。圆出于方,方出于矩。矩出于九九八十一。”


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                                        来自Android客户端25楼2019-05-17 10:16


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                                          来自Android客户端26楼2019-05-17 10:17
                                            由上图可见,矩相当于平面直角坐标系的一个象限。
                                            证明:
                                            .
                                            “矩出于九九八十一”
                                            横坐标9,
                                            纵坐标9,
                                            9×9=81。
                                            .
                                            九,在古汉语是喻无穷数的,则x轴与y轴亦是无限延长。由此可证,矩非矩形的两边,因其边长固定;而是坐标系的x轴与y轴,因其边长无限。


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                                            来自Android客户端27楼2019-05-17 10:18
                                              反证:
                                              .
                                              “圆出于方,方出于矩。”
                                              .
                                              假设圆的直径或方的边长大于九,则如何求“方出于矩”?
                                              所以,矩只能是无限延伸的x轴与y轴,由此无论多大的数,矩皆能求出。


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                                              来自Android客户端28楼2019-05-17 10:18
                                                引证:
                                                (1)《周礼.考工记注》:“矩,謂刻識之也。”
                                                (2)《史记·礼书》:“人 道经纬万端,规矩无所不贯。”
                                                (3) 九在古文喻无穷数,如《墨子·公输》:“九设攻城之机变…墨子九距之。”


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                                                来自Android客户端29楼2019-05-17 10:19
                                                  ○辅证大衍
                                                  🌼
                                                  大衍之数五十,其用四十有九。分而为二以象两,挂一以象三,揲之以四以象四时。
                                                  (摘于《周易.系辞》)
                                                  〔解〕
                                                  此是古函数平面直角坐标系的周易原文。大衍即平面直角坐标系。
                                                  .
                                                  1、“大衍之数五十,其用四十有九。”
                                                  说:
                                                  画一表格,横7点,纵7点,7×7=49点。但仅有一个表格,若无数,是不能成为坐标系的。于是再加1点,以象无极(元子)。有了此1点,即有了横坐标与纵坐标。于是平面直角坐标系才得以建立。
                                                  49+1=50,此“大衍之数五十”也。然后元子1点能游于平面直角坐标系的任一数位,49点全能用上,此“其用四十有九”也。
                                                  但《周易》原文仅讲“其用四十有九”,而没讲7×7是矩形。此时,即可用《周髀算经》的“矩出于九九八十一”加以辅证。
                                                  .
                                                  2、“分而为二以象两。”
                                                  〔说〕
                                                  将上述表格“揲”(叠)一下,则叠缝将它分为上下两片,以象阴阳。“两”即两仪。上片的数被两仪测定为阳数,又叫正数。下片的数被两仪测定为阴数,又叫负数。
                                                  两仪即数轴。
                                                  .
                                                  3、“挂一以象三,揲之以四以象四时。”
                                                  〔说〕
                                                  《说文》:“挂,画也。”
                                                  揲,即折叠。
                                                  大衍盘的上片为正数区,下片为负数区。两区以横叠线(x轴)为界线。此时仅能显示正负值,却不能标出某一点的固定数位。迫不得已,只好将大衍盘再揲(叠)一次,引入y轴(即纵叠线)。
                                                  如此,横叠线(x轴)和纵叠线(y轴)就把大衍盘分成4份。并以春夏秋冬“四时”命名为四象(即四象限)。此即“揲之以四以象四时”。
                                                  有了四象,则大衍盘的任1点皆可定其位移。“挂一”,即在大衍盘任画1点。此时,其图象却有3点:
                                                  甲:挂1点(元子)
                                                  乙:x轴1点(横坐标)
                                                  丙:y轴1点(纵坐标)
                                                  此即“挂一以象三”。


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                                                  来自Android客户端30楼2019-05-18 17:26
                                                    ○周髀解析图
                                                    🌼
                                                    方属地,圆属天,天圆地方。方数为典,以方出圆。笠以写天。天青黑,地黄赤。天数之为笠也,青黑为表,丹黄为里,以象天地之位。是故知地者智,知天者圣。智出于句,句出于矩。夫矩之于数,其裁制万物,唯所为耳。


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                                                    来自Android客户端31楼2019-05-18 18:06
                                                      1、方属地,圆属天。天圆地方。
                                                      〔说〕
                                                      《说文》:“属,连也。”
                                                      与地相连的是方形。
                                                      与天相连的是圆形。
                                                      天画圆。
                                                      地画方。


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                                                      来自Android客户端34楼2019-05-18 18:12
                                                        〔注〕
                                                        天圆地方 是上古天文学家的地球学说。
                                                        天圆,指地为球形。
                                                        地方,指亚欧大陆似方形。
                                                        上古没有现代的卫星地图,马力有限,且未发现非洲与美洲,故有此说。
                                                        《周髀算经》属于天文数学,所记的商高是商的遗民。因此“天圆地方”是三千年前商朝时期的宇宙学说,很不密。
                                                        至一千年后的汉朝,著名天文学家张衡虽仍倡地球学说,但讲“天圆”,却不讲“地方”了。其《浑天仪注》:“浑天如鸡 子。地如蛋 中黄,孤居于内,天大而地小。”


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                                                        来自Android客户端35楼2019-05-18 18:13


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                                                            由于大地并非方形,故后世的“天圆地方”学说主要用于数学:天画圆,地画方,房田画成方形便于测量和运算。


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