证明篇
第一章 图的一般性介绍
1， 简介
在数学史上，图列为数学范畴。几何学是数学的初级阶段，也就是数学起步时代的事情。几何图属于数学范畴，后来笛卡尔的坐标系出现后，解析几何图也是数学范畴。图论出现后，图论所涉及的图也没有意外的列为数学范畴。平面几何图、解析几何图是明显的工具图，而图论的图就顺应成了工具图。那么，图是否只能以工具性存在，还是图有自己独立的属性呢？我们要介绍的就是，我们不能盲目地认为，图只是工具，图的独立属性必须重视。
2,3—正则图
3—正则图就是俗称地图。在一幅图上，任何顶点都是3条线段分度，就定义为3—正则图。这是图论的概念，完全照搬。证明四色猜想只要在3—正则图完成，其它环境肯定是对的，没有必要附加说明，这是非常自明的，已经是数学界公认了。
3，四色猜想命题
证明3—正则图可以用四种颜色染色把所有面区分开，没有相同颜色相邻。
读者应该注意的是，四色猜想是证明，不是具体解题，即便你能解一万个具体图，这都是没有用的。在四色猜想命题上，这种共识早就形成，而且大家都很服气，认为应该这样。四色猜想的这种极易形成的共识，其实很可怕，只是大家没有注意而已。解题零价值意味着什么，这是有深层意义的，认识四色猜想命题就应该注意到这一点，因为别的数学命题都不会这样，都会有解题价值，甚至解题等于证明。
第二章 四色染色的充要性
图的四色染色需要进行充要性讨论。
满足四色猜想充要条件是没有这方面研究的，这是我感到非常不解的一件事。数学证明的完备性深刻依赖充要性，我们有必要搞清楚四色染色的充要条件，为以后的章节打好基础。
图2—001
图2—001是一条闭合回路环线。由于是闭合环线，自然就把平面分个成两部分。
图2—002
图2—002是图2—001环线基础上画的许多“横档”线段。这些线段分别落在闭合环路不同的两部分中。
哈密顿回路的定义是指遍历所有顶点的闭合回路，这里的红色闭合回路就是一条哈密顿回路。不过，这里是一条预设的回路，不是求解出来的回路。我们是在讨论充要性问题，不是在证明，所以，为了阅读方便，先以预设哈密顿回路方式。
图2—003
图2—003是图2—002图的四色染色结果。
我们用红、蓝、青、绿四种颜色分别画出四色结果。
哈密顿回路的两部分内部是完整的二元逻辑关系，所以，红、蓝一组，在哈密顿回路的一侧，青绿一组在另一侧。
我们应该注意到，这条哈密顿回路既是红蓝面链得外轮廓线，也是青绿面链的外轮廓线。
我们仅仅改变我们的思路，不改变图的染色现状。我们不再认为红蓝面链和青绿面链是固定的，我们以绿蓝元素组合成面链，另外的就是青红元素组合成面链。
图2—004
为了直观，我们删除了青红面链的染色，只保留蓝绿面链。
由于我们没有进行任何染色操作，只是进行思维转换，图的四色染色状态没有任何改变。我们现在看到的蓝绿面链不是一条，而是四条，即用1、2、3、4标明的四条面链。它们被红青面链隔开，而红青面链只有一条，但红青面链是带有局部环形结构的，没有遍历环线轮廓，即任何面链都不是哈密顿回路包围的。
染色结果没有任何变动，只是色链元素一种重新认可。在这种认可下，四色染色未必需要哈密顿回路，色链数目未必必须是两条，断断续续也是可以的。这种认可下，其实蓝绿面链多达4条。我们不考虑那条带环形面链分支的大面链，我们看到的断断续续的小面链，它们的外轮廓线也是闭合回路，只是在图中有多条而已。进一步注意到，这些面链的的外轮廓线环路必然满足一个要求，即它们是偶数条边构成。（当然，严格来说，我们必须不允许两边形和三边形的存在，两边形、三边形会发生干扰。不过，两边形、三边形在四色染色问题上是从属关系，是可以搁置或合并就能解决的，带两边形、三边形的图可以不考虑。）在不考虑两边形、三边形的情形下，任何一个图的任何一个四色答案，任意选定二色面链，这种二色面链可以是多条，但它的外轮廓环线必然是偶数边构成。
这是一个严格的证明，由于图处于正确四色状态，包围二色面链的环形面链必须是偶数个面，不然，包围面链的环形面链发生同色相邻。
在不含二边形、三边形的图中，一条或多条偶数边环路遍历所有顶点，此图处于四色染色状态。这是充分且必要的，不会有这个条件之外的四色答案，也不存在这个条件下不能四色染色。
对于一个图来说，我们暂时认为每一个面都是独立的。在有哈密顿回路的环境下，一个图分成两条面链，我们任意选定面链中的一个面作为染色起点，则该面有4种选择权，在它相邻的第二个面有3种选择权，该面链的其它面没有选择权，哈密顿回路的另外一侧的某一个面拥有二种颜色选择权，其它面没有选择权，这样一来，在承认面有元素选择权时，一条哈密顿回路产生了4*3*2=24种四色染色方案。
在上面图上，我们的思路处于红蓝面链时，这时提供了24个答案，而转换到蓝绿思路时，答案数发生变化。在新环境下，带环形面链的大面链拥有4*3的染色选择权，而孤岛型面链各自独立有两个颜色选择权，每增加一条偶数边环路，则四色答案数增加一倍，上图就有4*3*2*2*2*2=192个四色染色答案。
我们在改变多环路面链的四色染色答案时，我们有了染色操作，我们再回到原来的色链时，原色链就不再是可哈密顿状态，即使是可哈密顿状态，也不是原哈密顿回路了，这又带出了新的四色染色答案。这里要说明的是，虽然四色染色答案会由这种思路改变而带出很多四色染色答案，但这还是没有证明力，而且非常混乱。由于问题的本质是我们赋予面有独立元素权，采用了排列、组合和思路切换来推导出四色染色答案。这些还是解题路线，不能当证明用。整个过程中，我们进行了思路切换，这种切换是其它数学行为中并没有发生过的事，我们可以认为这是一种数学变卦。我们必须注意它的存在，不需要把这种现象作为数学证明的依据和方向。
这一章的本质就是推出四色染色的充要条件，即多偶数边闭合环路遍历是四色染色的充要条件。这个完备思维是四色猜想证明的路线指导，它很关键。我们应该知道，目前美国人电脑证明没有充要性认定，他们在不完备的思维中证明四色猜想。
第三章 三色定理的介绍
介绍三色定理的目的在于提示大家研究四色猜想或了解阅读本书的思维方向。三色定理是一个奇怪的定理，几乎没有人对此进行讨论和研究，大家都装作不知道，绕过这个定理，当它不存在。其实有没有人进行研究就不知道了，研究而一无所获，就当它不存在，人家不告诉你，你又怎么知道呢？
不怕别人笑话，当我发现三色定理时，我很吃惊，认为发现了一个如此简单的秘密，我为自己的聪明折服。我到处找证据，想知道是否有别人已经发现，如果没有人发现，这就不得了了。情况是几乎找不到别人有这个方面的发现，但最后还是网上的一个业余四色猜想研究者的一段话中，他讲到了三色定理。但人家没有说这是三色定理，只是一段牢骚话提到而已。
当一个图的所有面都是由偶数边构成时，这个图可三色染色，
这就是三色定理。
图3—001
图3—001的所有面都是偶数条构成的，没有一个面是奇数条边构成的。
图3—002
我们用红蓝两色包围一个面。由于被包围面是偶数边，这就必然是二色面链无同色相邻状态。然后继续发展这条面链，选择对其它面链包围，这样一直下去，就会形成完全红蓝环形二色面链，而被包围的面都会被面链孤立隔开，形成单面“孤岛”，这些孤岛面用一种颜色染色，则偶数边构成面的图是三色可染色。
图3—003
图3—003是完整三色图，“孤岛”用绿色填充即可。
三色定理的证明实在太简单了，而且数学完备，没有任何异议。三色答案不同于四色答案，在不主张色权的情况下，它是唯一解，同色面是固定的，没有变化，非常稳固。
这里需要讨论的是，这个定理根本不可能也不至于是我发现的，只是曾经的发现者都没有主张这个定理而已。普通人发现了不主张或主张不了，但也没有知名的数学家主张这个定理。这个定理挺漂亮的，相当完美，但为什么不主张呢？
与前一章比较一下，其实三色定理与四色染色充要性的论证非常接近，只是一些细节差异而已，毕竟充要性问题是具体数学环境，但理论源是完全一样的。
三色比四色少一色，偶数边图是一类图，从一类图推向普通图，拿一个颜色变量来推导，这不是数学的常用手段吗？其实传统数学中，研究变量是主流数学现象，而好好的一个变量模型，居然白白浪费？对于四色猜想的命题端，也就是审题，三色定理是必不可少的，阅读本书，我必须有这个提示。用三色定理为工具而证明四色定理，其实根本无法展开，以至于这个定理被埋没。
三色定理是完备的。并非三色定理无人知晓，而是在四色猜想面前根本用不上而被废弃。从三色定理到四色猜想的过程中，变量思维完全无法展开。不是人们不愿意，而是此路根本行不通，这种行不通是可以断言的。变量在微积分中波澜壮观、威风凛凛，但在图问题上，它只好认怂。如果读者对数学思想感兴趣，不免对此研究一番，推翻我的断言，我也不是什么数学权威。
第四章 标准图
图研究不能各自为政，每个研究者按自己的意愿画图，然后在自己画出的图语境中说事，这样肯定不行。图服从于研究者意愿，这种图肯定是工具图，它有服务对象。
大家都在同样环境下说事，不是个人有自己一套表现个性，这就是标准图。
数学研究中，笛卡尔的坐标系提供了一个共同研究的平台，这是了不起的，但笛卡尔坐标系明显就是工具图，也没有万能性。如果图自身的确存在非工具性的特征，那么我们使用非工具性图就可以了。在人类思维领域，非工具性图目前只有一个，即太极图。太极图显然无法进行相关数学研究的，这是大家都知道的事。太极图不能拿来研究数学，并不意味着它不是独立意义的图。现代数学研究并没有像太极图一样的非工具性图存在，我们需要的就是非工具性的图。
标准图就是建立这种非工具性图。我们用标准图这样一个中性词，但标准图的意义并仅仅是标准的意思。
图4—001
图4—001是把图2—002图进行哈密顿回路标号。本图是46点图，引入标号后，把图进行标准处理。
图4—002
我们画一个46分度的圆，逆时针标上点序。我们按图4—001提供的点序关系把所有线段画上去。
在这个过程中，图进行了拓扑操作，但这个操作不是拓扑学意义上操作，而是符号意义的操作。符号意义与拓扑意义不同，拓扑必须强调空间，但这里放弃空间思维，只是符号操作。
图4—003
图4—003是图4—002的完整标准图符号标注，用P6(w，n39)是对该点进行完整标识，P6表示该的位置为6号点，括号内数值表示线段端点位和线段所在的区域，即端点位39号位，线段是在内侧，n是内侧，w是外侧，区域位有数值有效，无数值为不存在线段。
记录所有标号位信息，则该图完全转化为符号信息，可以在无图环境下得到完整图信息。图的全符号化非常重要，标准图的意义在于图实现了全符号化。全符号化的图可以完全脱离图而进入纯符号运算模式。这就是图的无维化，图进入纯符号，空间维度的概念被彻底放弃。
我们必须注意到的是，全符号化的图就是独立意义的图，已经没有工具性了。标准图不是属于什么二维环境的图，也不是拓扑含义的图，也不是图论学科的图，它就是独立的图，与太极图一样，并不依附具体学科环境。标准图与太极图有几分相似，出于直观考虑，没有必要与太极进行外观靠拢。标准图与太极图更倾向的是思维目标一致。我们不必争论太极图与标准图谁更好，标准图与太极图都是迄今仅有的独立意义的图。标准图也不再用中国古人的符号系统，那些古汉字实在太难读了，大家也忘得差不多了，我也读不懂，直接用通行的数学符号更直观、方便。
标准图是一个全新的思维世界。
第一章 图的一般性介绍
1， 简介
在数学史上，图列为数学范畴。几何学是数学的初级阶段，也就是数学起步时代的事情。几何图属于数学范畴，后来笛卡尔的坐标系出现后，解析几何图也是数学范畴。图论出现后，图论所涉及的图也没有意外的列为数学范畴。平面几何图、解析几何图是明显的工具图，而图论的图就顺应成了工具图。那么，图是否只能以工具性存在，还是图有自己独立的属性呢？我们要介绍的就是，我们不能盲目地认为，图只是工具，图的独立属性必须重视。
2,3—正则图
3—正则图就是俗称地图。在一幅图上，任何顶点都是3条线段分度，就定义为3—正则图。这是图论的概念，完全照搬。证明四色猜想只要在3—正则图完成，其它环境肯定是对的，没有必要附加说明，这是非常自明的，已经是数学界公认了。
3，四色猜想命题
证明3—正则图可以用四种颜色染色把所有面区分开，没有相同颜色相邻。
读者应该注意的是，四色猜想是证明，不是具体解题，即便你能解一万个具体图，这都是没有用的。在四色猜想命题上，这种共识早就形成，而且大家都很服气，认为应该这样。四色猜想的这种极易形成的共识，其实很可怕，只是大家没有注意而已。解题零价值意味着什么，这是有深层意义的，认识四色猜想命题就应该注意到这一点，因为别的数学命题都不会这样，都会有解题价值，甚至解题等于证明。
第二章 四色染色的充要性
图的四色染色需要进行充要性讨论。
满足四色猜想充要条件是没有这方面研究的，这是我感到非常不解的一件事。数学证明的完备性深刻依赖充要性，我们有必要搞清楚四色染色的充要条件，为以后的章节打好基础。
图2—001
图2—001是一条闭合回路环线。由于是闭合环线，自然就把平面分个成两部分。
图2—002
图2—002是图2—001环线基础上画的许多“横档”线段。这些线段分别落在闭合环路不同的两部分中。
哈密顿回路的定义是指遍历所有顶点的闭合回路，这里的红色闭合回路就是一条哈密顿回路。不过，这里是一条预设的回路，不是求解出来的回路。我们是在讨论充要性问题，不是在证明，所以，为了阅读方便，先以预设哈密顿回路方式。
图2—003
图2—003是图2—002图的四色染色结果。
我们用红、蓝、青、绿四种颜色分别画出四色结果。
哈密顿回路的两部分内部是完整的二元逻辑关系，所以，红、蓝一组，在哈密顿回路的一侧，青绿一组在另一侧。
我们应该注意到，这条哈密顿回路既是红蓝面链得外轮廓线，也是青绿面链的外轮廓线。
我们仅仅改变我们的思路，不改变图的染色现状。我们不再认为红蓝面链和青绿面链是固定的，我们以绿蓝元素组合成面链，另外的就是青红元素组合成面链。
图2—004
为了直观，我们删除了青红面链的染色，只保留蓝绿面链。
由于我们没有进行任何染色操作，只是进行思维转换，图的四色染色状态没有任何改变。我们现在看到的蓝绿面链不是一条，而是四条，即用1、2、3、4标明的四条面链。它们被红青面链隔开，而红青面链只有一条，但红青面链是带有局部环形结构的，没有遍历环线轮廓，即任何面链都不是哈密顿回路包围的。
染色结果没有任何变动，只是色链元素一种重新认可。在这种认可下，四色染色未必需要哈密顿回路，色链数目未必必须是两条，断断续续也是可以的。这种认可下，其实蓝绿面链多达4条。我们不考虑那条带环形面链分支的大面链，我们看到的断断续续的小面链，它们的外轮廓线也是闭合回路，只是在图中有多条而已。进一步注意到，这些面链的的外轮廓线环路必然满足一个要求，即它们是偶数条边构成。（当然，严格来说，我们必须不允许两边形和三边形的存在，两边形、三边形会发生干扰。不过，两边形、三边形在四色染色问题上是从属关系，是可以搁置或合并就能解决的，带两边形、三边形的图可以不考虑。）在不考虑两边形、三边形的情形下，任何一个图的任何一个四色答案，任意选定二色面链，这种二色面链可以是多条，但它的外轮廓环线必然是偶数边构成。
这是一个严格的证明，由于图处于正确四色状态，包围二色面链的环形面链必须是偶数个面，不然，包围面链的环形面链发生同色相邻。
在不含二边形、三边形的图中，一条或多条偶数边环路遍历所有顶点，此图处于四色染色状态。这是充分且必要的，不会有这个条件之外的四色答案，也不存在这个条件下不能四色染色。
对于一个图来说，我们暂时认为每一个面都是独立的。在有哈密顿回路的环境下，一个图分成两条面链，我们任意选定面链中的一个面作为染色起点，则该面有4种选择权，在它相邻的第二个面有3种选择权，该面链的其它面没有选择权，哈密顿回路的另外一侧的某一个面拥有二种颜色选择权，其它面没有选择权，这样一来，在承认面有元素选择权时，一条哈密顿回路产生了4*3*2=24种四色染色方案。
在上面图上，我们的思路处于红蓝面链时，这时提供了24个答案，而转换到蓝绿思路时，答案数发生变化。在新环境下，带环形面链的大面链拥有4*3的染色选择权，而孤岛型面链各自独立有两个颜色选择权，每增加一条偶数边环路，则四色答案数增加一倍，上图就有4*3*2*2*2*2=192个四色染色答案。
我们在改变多环路面链的四色染色答案时，我们有了染色操作，我们再回到原来的色链时，原色链就不再是可哈密顿状态，即使是可哈密顿状态，也不是原哈密顿回路了，这又带出了新的四色染色答案。这里要说明的是，虽然四色染色答案会由这种思路改变而带出很多四色染色答案，但这还是没有证明力，而且非常混乱。由于问题的本质是我们赋予面有独立元素权，采用了排列、组合和思路切换来推导出四色染色答案。这些还是解题路线，不能当证明用。整个过程中，我们进行了思路切换，这种切换是其它数学行为中并没有发生过的事，我们可以认为这是一种数学变卦。我们必须注意它的存在，不需要把这种现象作为数学证明的依据和方向。
这一章的本质就是推出四色染色的充要条件，即多偶数边闭合环路遍历是四色染色的充要条件。这个完备思维是四色猜想证明的路线指导，它很关键。我们应该知道，目前美国人电脑证明没有充要性认定，他们在不完备的思维中证明四色猜想。
第三章 三色定理的介绍
介绍三色定理的目的在于提示大家研究四色猜想或了解阅读本书的思维方向。三色定理是一个奇怪的定理，几乎没有人对此进行讨论和研究，大家都装作不知道，绕过这个定理，当它不存在。其实有没有人进行研究就不知道了，研究而一无所获，就当它不存在，人家不告诉你，你又怎么知道呢？
不怕别人笑话，当我发现三色定理时，我很吃惊，认为发现了一个如此简单的秘密，我为自己的聪明折服。我到处找证据，想知道是否有别人已经发现，如果没有人发现，这就不得了了。情况是几乎找不到别人有这个方面的发现，但最后还是网上的一个业余四色猜想研究者的一段话中，他讲到了三色定理。但人家没有说这是三色定理，只是一段牢骚话提到而已。
当一个图的所有面都是由偶数边构成时，这个图可三色染色，
这就是三色定理。
图3—001
图3—001的所有面都是偶数条构成的，没有一个面是奇数条边构成的。
图3—002
我们用红蓝两色包围一个面。由于被包围面是偶数边，这就必然是二色面链无同色相邻状态。然后继续发展这条面链，选择对其它面链包围，这样一直下去，就会形成完全红蓝环形二色面链，而被包围的面都会被面链孤立隔开，形成单面“孤岛”，这些孤岛面用一种颜色染色，则偶数边构成面的图是三色可染色。
图3—003
图3—003是完整三色图，“孤岛”用绿色填充即可。
三色定理的证明实在太简单了，而且数学完备，没有任何异议。三色答案不同于四色答案，在不主张色权的情况下，它是唯一解，同色面是固定的，没有变化，非常稳固。
这里需要讨论的是，这个定理根本不可能也不至于是我发现的，只是曾经的发现者都没有主张这个定理而已。普通人发现了不主张或主张不了，但也没有知名的数学家主张这个定理。这个定理挺漂亮的，相当完美，但为什么不主张呢？
与前一章比较一下，其实三色定理与四色染色充要性的论证非常接近，只是一些细节差异而已，毕竟充要性问题是具体数学环境，但理论源是完全一样的。
三色比四色少一色，偶数边图是一类图，从一类图推向普通图，拿一个颜色变量来推导，这不是数学的常用手段吗？其实传统数学中，研究变量是主流数学现象，而好好的一个变量模型，居然白白浪费？对于四色猜想的命题端，也就是审题，三色定理是必不可少的，阅读本书，我必须有这个提示。用三色定理为工具而证明四色定理，其实根本无法展开，以至于这个定理被埋没。
三色定理是完备的。并非三色定理无人知晓，而是在四色猜想面前根本用不上而被废弃。从三色定理到四色猜想的过程中，变量思维完全无法展开。不是人们不愿意，而是此路根本行不通，这种行不通是可以断言的。变量在微积分中波澜壮观、威风凛凛，但在图问题上，它只好认怂。如果读者对数学思想感兴趣，不免对此研究一番，推翻我的断言，我也不是什么数学权威。
第四章 标准图
图研究不能各自为政，每个研究者按自己的意愿画图，然后在自己画出的图语境中说事，这样肯定不行。图服从于研究者意愿，这种图肯定是工具图，它有服务对象。
大家都在同样环境下说事，不是个人有自己一套表现个性，这就是标准图。
数学研究中，笛卡尔的坐标系提供了一个共同研究的平台，这是了不起的，但笛卡尔坐标系明显就是工具图，也没有万能性。如果图自身的确存在非工具性的特征，那么我们使用非工具性图就可以了。在人类思维领域，非工具性图目前只有一个，即太极图。太极图显然无法进行相关数学研究的，这是大家都知道的事。太极图不能拿来研究数学，并不意味着它不是独立意义的图。现代数学研究并没有像太极图一样的非工具性图存在，我们需要的就是非工具性的图。
标准图就是建立这种非工具性图。我们用标准图这样一个中性词，但标准图的意义并仅仅是标准的意思。
图4—001
图4—001是把图2—002图进行哈密顿回路标号。本图是46点图，引入标号后，把图进行标准处理。
图4—002
我们画一个46分度的圆，逆时针标上点序。我们按图4—001提供的点序关系把所有线段画上去。
在这个过程中，图进行了拓扑操作，但这个操作不是拓扑学意义上操作，而是符号意义的操作。符号意义与拓扑意义不同，拓扑必须强调空间，但这里放弃空间思维，只是符号操作。
图4—003
图4—003是图4—002的完整标准图符号标注，用P6(w，n39)是对该点进行完整标识，P6表示该的位置为6号点，括号内数值表示线段端点位和线段所在的区域，即端点位39号位，线段是在内侧，n是内侧，w是外侧，区域位有数值有效，无数值为不存在线段。
记录所有标号位信息，则该图完全转化为符号信息，可以在无图环境下得到完整图信息。图的全符号化非常重要，标准图的意义在于图实现了全符号化。全符号化的图可以完全脱离图而进入纯符号运算模式。这就是图的无维化，图进入纯符号，空间维度的概念被彻底放弃。
我们必须注意到的是，全符号化的图就是独立意义的图，已经没有工具性了。标准图不是属于什么二维环境的图，也不是拓扑含义的图，也不是图论学科的图，它就是独立的图，与太极图一样，并不依附具体学科环境。标准图与太极图有几分相似，出于直观考虑，没有必要与太极进行外观靠拢。标准图与太极图更倾向的是思维目标一致。我们不必争论太极图与标准图谁更好，标准图与太极图都是迄今仅有的独立意义的图。标准图也不再用中国古人的符号系统，那些古汉字实在太难读了，大家也忘得差不多了，我也读不懂，直接用通行的数学符号更直观、方便。
标准图是一个全新的思维世界。
