你也可以用夹逼来做到——在内接线的基础上加一条外切线，分段够多的话两条线会越来越接近

你说的有道理。曲线长度并没有夹逼，而且应该很难做到（如果能做到，我估计书上肯定就直接给你写出来了，不会留下这个漏洞）。如果书上直接把这个作为定义，它的信服力不够，但确实是正确的。
首先如果你没有给出曲线长度的定义，那你为什么会觉得折线的长度要小于曲线长度呢？你有这个感觉是因为你心里已经自己有了一个曲线长度的定义，这个定义是欧式度量给出的。
所以曲线长度的定义本身不应该是那个积分公式，而应该是通过欧式度量给出。换言之，先给出直线长度，然后你把曲线拉直（做保持度量的变换）以后，计算拉直以后的长度。换言之，如果有一个人在曲线上走，另一个人在直线上走，他们速率（瞬时速度的大小）一样，同一时间段，直线上走的人的路程，就是曲线上对应两点的长度。
用数学的语言变成：令r: R→ R^n为保持度量的嵌入（为了方便考虑二维的情况r(t)=(x(t),y(t))，其它维数一样道理）r的像是所求曲线，由于保持度量，所以sqrt[x'(t)^2+y'(t)^2]=1（在直线上走路的人的速率和曲线上走路的人的速率相等）。如果直线上的人从t=a走到t=b，那么直线上的人走的路程应该是对t从a到b的积分。所以sqrt[x'(t)^2+y'(t)^2]=1两边对t从a到b积分，方程左边就是曲线的长度了。你如果把积分整理一下（用换元把t变成x），就会得到你书上看到的曲线长度公式（从x(a)到x(b)这段）。
所以书上的公式是对的