积分判别法
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位(换句话说,每个长方形的面积都是1/n),所以所有长方形的总面积就是调和级数的和: 矩形面积和: 而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出: 曲线下面积: 由于这一部分面积真包含于(换言之,小于)长方形总面积,长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说,这证明了:
这个方法的拓展即积分判别法。
反证法
假设调和级数收敛 , 则:
但与 矛盾,故假设不真,即调和级数发散。
发散率编辑 语音
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说,调和序列前10项的和还不足100。这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地, [3]
其中 是欧拉-马歇罗尼常数,而 约等于 ,并且随着 k趋于正无穷而趋于 0。这个结果由欧拉给出。
部分和编辑 语音
调和级数的第n个部分和为:
也叫作第n个调和数。
第n个调和数与n的自然对数的差值(即 )收敛于欧拉-马歇罗尼常数。
两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。
除了n=1时以外,没有任何一个调和数是整数。
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位(换句话说,每个长方形的面积都是1/n),所以所有长方形的总面积就是调和级数的和: 矩形面积和: 而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出: 曲线下面积: 由于这一部分面积真包含于(换言之,小于)长方形总面积,长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说,这证明了:
这个方法的拓展即积分判别法。
反证法
假设调和级数收敛 , 则:
但与 矛盾,故假设不真,即调和级数发散。
发散率编辑 语音
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说,调和序列前10项的和还不足100。这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地, [3]
其中 是欧拉-马歇罗尼常数,而 约等于 ,并且随着 k趋于正无穷而趋于 0。这个结果由欧拉给出。
部分和编辑 语音
调和级数的第n个部分和为:
也叫作第n个调和数。
第n个调和数与n的自然对数的差值(即 )收敛于欧拉-马歇罗尼常数。
两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。
除了n=1时以外,没有任何一个调和数是整数。