以下是
四次投掷的金币产量的
分布列(讨论了6+4,6+3,单6 和 4+3 的全部锻法),精确到小数点后四位。表格中的数值,是
“产量大于等于所在行最左边的数”的概率。
注:事实上,将每列从第二行开始往下求和,就等于金币产出(以12为上限)的期望值。
先观察前四列:6+4的锻法。我们发现一件事情,那就是第一列的数值始终大于等于第2、3、4列。这个概念称为“分布意义下大于”:如果随机数X和Y的分布满足,对任何参考值lambda,都有P(X>lambda)比P(Y>lambda)来得大(至少一样),就称X在分布意义下大于Y。说简单点,就是
全锻在左边dominate其它锻法。dominate一词可译为“完爆”。
然后看6+3的四列。6L3L是完爆6L3R的,在11以内也完爆6R3L,在<0.001概率的误差下也完爆6R3R。很多人都喜欢把6+3锻成6L3R,这至少从短期来看是
不明智的,相比于6L3L更高概率出现“开局运气不好”的现象。
关于锻单6,数值上不太能比出左锻和右锻的完爆关系。各有利弊,但从
期望值来说还是左边好一些。注意前文说“锻法不影响期望”是忽略了“上限12”这一实际约束的。考虑这一约束的话,
不同的锻法还是有差别的,而且这种差别必须通过精细的计算才能判断出来。
而4+3这种平民开局,也无法从数值上比较出完爆关系,不过
期望意义下4L3L是最优的。另外,虽然能有10甚至11金币更好,但我们通常希望第二轮一定要达到的金币值是8——为了锻造“2红”的骰面,防止未拿到2红而崩盘。这样来看,4L3L也是相对而言最稳健的。
还有个问题,那就是先手开局五金币是锻6还是锻4+3。我其实倾向于前者——虽然从表格数值来看4+3似乎要好些,但我无论如何也不想把6让给对手。而且我锻6实际上留下了一金币,这样我们可以“错位比较”,发现“其实也没差太多”。再说,自己毕竟是先手,就算第二回合运气不好,也仍有概率能在第三回合锻到“2红”骰面。
总之,至少对于2人局和4人局的“短期作用”来说,不论6+4,6+3,单6,还是4+3,都全放左边是较好的。