(6)(续)考虑点P对外切四点形F₁IF₂J的对合,则P对二次曲线的两条切线也属于这个对合，l,但P在二次曲线上,故p是对合的一条不动直线,作P处法线q,由(p，q;PI,PJ)=-1可知q是对合的另一条不动直线.由对合性质可知(p，q;PF₁,PF₂)=-1，椭圆，双曲线的光学性质得证。抛物线情形留作习题

这几个定理能够流水线般完成圆锥曲线题目生产。背景挖掘式证明不但使得此贴命题本身更为明了，还可以实现副产品大规模生产，不仅限于对二次曲线证明的一般性，且包括其它重要结果:如(4)对牛顿线存在性进行证明，但笛沙格对合定理的完整叙述表明:设完全四边形外切于某条二次曲线α，则G到α的两条切线也是由关于直线XY对称所决定的对合互逆对。然而G是无穷远点，故G到α的两条切线关于直线XY对称意味着二次曲线的两个焦点(不考虑一个焦点的情形)的中点是在牛顿线上的。回到题设，“外切，焦点”，圆锥曲线等角性质呼之欲出。简洁的平几论证显示:以两点为焦点的圆锥曲线内切于某个完全四边形等价于这两点是该完全四边形的等角共轭点。固然，提到等角共轭，我们似乎又得证明
(7)求证:完全四边形等角线
这个命题也是笛氏对合定理的用武之地，简单的射影几何习题留与读者论证.
仿照三角形等角共轭点，我们可以定义四点形的等角共轭点，此处不再赘述。

接下来几天考完放假，打算抽空也写个射影专题，权当吧主的补充或预备。

不要在我吧里发贴了，我现在不想看初等几何。所以你就还是在几何吧发吧，你跟吧主讨论就行了。其实你学射影几何用处也不是太大，你要搞竞赛吗？如果你不搞竞赛的话，我甚至可以指导你看大学课本，比学纯几何重要一些。当然如果你没有那个心思，就觉得初等几何好玩，那我也不管。我只说如果你要是有长远规划的话，可以学点大学课程。我学初等几何就是玩的，微分几何和理论物理才是我的主项。

对于一般学生来讲，初等几何可能你喜欢上几何，喜欢上数学的一个入门学问，爱因斯坦就是从读几何原本入门了科学。但是毕竟初等几何顾名思义，非常初等，你们现在这批学生，学有余力，完全可以学更高级的课程。但初等几何这东西他虽然初等，但是内容多，水太深了，特别是三角形学，知识量巨大，如果陷进去，可能影响你对别的方向兴趣的发展。事实上中学生最大的问题就是一是不掌握学习方法，二是不知道学习方向。在本吧我暂时不想谈初等几何，我答应了吧主给他讲mca，我也就单回答他看我的mca解题的疑点，这方面，老兄你要是有兴趣，也可以开发一下mca的技法。mca技法可以开发的空间也是非常大的。我去年年底开创的所谓“条件空间法”“弱化条件法”“动度降低法”等都威力非常大，你可以和吧主一起探讨一下，你们也可以发明新的mca技法，如果是那样，可以把贴子发到这里。我是一个学东西学得很广的人，物理专业出身，数学专业课也都基本学完，有些工科课我也学过，包括人工智能，这些学问里面有很多课程是意义较大的的，也有很多是无意义的，你作为年轻学生，最好是能尽早选择好的方向，这点在你后续的成长过程中你会体会到的。比如说，如果你几何能学好，那么你可以看看《可视化复分析》一书，这书是非常经典的名著，当然，这应该算是高等数学，大学数学系的课程范畴内的学问，但是这书写的是非常通俗的，学有余力的中学生是可以看的。我说这些，你可能觉得跳跃性太大了？会不会造成浮躁？看难度大一点的书不是浮躁的，没问题可以看，关键看你懂不懂学习方法，能不能给看懂，能看懂当然就不是浮躁的。别的方面有意义的书也非常多。入门数学系的书籍课程推荐：
▲3Blue1Brown全部视频，特别是微积分和线性代数的可视化，有助于理解
▲希尔伯特《直观几何》趣味的几何与拓扑入门书，可以了解到射影构造，变换群几何，微分几何，拓扑学等领域
▲陶哲轩《实分析》最入门的数学分析和一点点实分析，并不推荐利用暑假自学很大部头的数学课本
▲曼克勒斯《流形上的分析》叙述非常清晰准确流畅，快速入门流形，甚至不需要会线性代数就能学这个
▲齐民友《重温微积分》一条龙快餐式生动讲解数学分析，一点复分析，一点实分析和泛函，一点流形分析
▲浙大出版社/中科大出版社/其他任何一种《概率论与数理统计》或者网上的相关公开课，概率是认知世界非常重要的思维模式
▲有了微积分，线性代数，概率论的基础就可以选择一个人工智能的公开课或者书籍来阅读了，人工智能是大热而且很有哲理的学科
▲Martin Aigner·Gunter M.Ziegler《来自圣经的证明》最高水平的趣味数学书，涵盖多个初等领域的有趣或重要定理的极妙的证明
▲Mathologer大部分视频，如同天书证明，也对很多精妙的结论有着精彩的可视化证明方法
▲Needham《可视化复分析》不是太严谨，但是是用微元几何法叙述复分析主线内容和非欧几何的神书
▲柯斯特利金《代数学引论》第一卷，用来入门线性代数与抽象代数，如果有能力可以看第二卷，但第二卷是线性代数与其应用，不太推荐。
▲丘维声《高等代数》公开课60，讲的非常清晰有节奏感的公开课，非常适合入门，一次性系统学会每周上几次课效果更好
▲丁同仁《常微分方程》有了数分，特别是隐函数定理，以及线性代数的预备，就可以看懂这本简明的常微分方程了
▲Coxeter《Introduction to geometry》入门非欧几何，射影几何，简单的微分微分几何和拓扑等小专题
▲费曼《物理学讲义》第一卷，有助于学习物理思维方式，有助于学好大学物理
▲梅向明《微分几何》比较简明的教材，可以用来了解古典微分几何

看来你对大学课程不感兴趣，那我也不强求，你跟martin吧主，还有几何吧几位朋友，发展一下mca技法，然后又啥进展发到这里来吧。mca不仅仅是简单的三个特殊位置搞定，还有高级的技术，比如条件空间法，降动度法，弱化条件法，配合运动法等，另外还有一些辅助技法，比如三角函数辅助，二次线性函数辅助等等。我发几个例子，你们学会即可，然后就可以开始自己的创新。

这个上面提到geometry题的原题。另外，我的mca还有很多小技巧，无穷大图形和微元图形也是我常用的，还有常规的运动法，也有时候会用到，复数辅助，整体交比等等一些小技巧，你们都可以挖掘。可挖掘的空间非常大，由于我是也与玩的，精力有限，你们如果喜欢，可以大开脑洞，多开发一些技法。

关于动度，这东西需要简单讲一下，你学过射影几何，自然知道齐次坐标，我们用参数t描述一个动点的轨迹，三个齐次坐标均是t的多项式，其最高幂次定义为这个点（或者线）的动度。那么你们可以开发一些计算动度的技巧。一个比较重要的是，如果一个直线上的1动度点被射影对应到了圆锥曲线上，那么圆锥曲线上的点的动度是2。动度的核心在于找到一个“条件多项式”，其恒等于0这个条件等价于所需要证明的结论，那么如果我们找到多于这个多项式幂次的特殊位置，就能验证这个多项式恒等于0。我比较建议的是，类似于动度的方法，可以用解析法辅助，总之都是用特殊位置搞定题目。条件空间，是我开发的一种mca技法，是说，如果将两个题目中的两个条件化为一个新的空间的，我称之为条件空间，两条曲线，如果能证明这两条曲线是相同的，那么就能证明这两个条件是等价的。上面有例题。弱化条件法是当我们发现题目没有可以运动的点的时候，或者虽然可以运动，但是运动起来动度较大，那么可以选择本来不动的点，让他动起来，但是当然要放弃一部分条件，但是分析一阵子以后，可以以一定的方式给他加回去，反应在对要验证的特殊位置的条件上，上面也有例子。条件空间法和弱化条件法都是很有潜力的技法，各位有兴趣的朋友，可以尝试发展。另外，降动度的方法是用奇异位置来降，上面也有例题。我的这些发展还不够，希望各位进一步发展，最终形成一套比较成熟的解题体系，这套体系当然应该和常规方法相配合，同时减少思维量，并且有助于攻克题目中的障碍。

其他的例题就多看看我的“mca长期贴吧”有几十个题目。技法也都各异。比如有类似几何变换辅助的，反演辅助的，圆锥曲线性质辅助等等，很多很丰富，我一个人就能做到如此，你们几个老兄一起做，希望能搞的更丰富多彩一点。你们就联合一起，在我这个贴吧发一个MCA技法创新贴吧！就相当于我指导你们做课题了。有啥问题我也可以回答，其实你们的射影几何基本功够了，但是mca不仅仅是射影几何，还要大开脑洞，各种技法都应该能用进来，主体思路上可以创新，辅助工具上可以多样化。另外还有一个小问题，就是你们几位，包括吧主在内，射影几何功夫足够了，但是纯几何的基本功还欠点，（其实我的纯几何基本功可能虽然稍微好点，但也比纯几何吧的顶级高手要差一些）再就是，比如面积比例，三角法，复数法，向量法等等，这些都是基本功，也都需要学习。当然了，即便是顶级高手，也不是所有的方法都掌握的很好，我个人属于学东西非常杂的，各种东西都会一点，初等几何是这样，总体学科也是如此。你们几位小伙伴可以合力，每个人有自己特殊的长处，即便是初等几何，也得分工，不然，消耗时间太长了。事实上，我都不是太建议你们太深入初等几何，这东西，可以慢慢玩，未必非得在中学学到多么深的境地，我不就是在大学才开始玩初等几何的吗。事实上，你们能学会射影几何的课本，那也能学会其他大学课本，大学课本是学的越早越好，如果你平常课学有余力的话。但是，这里面又有另外一个问题，就是应试高考的问题。你们要不要准备自主招生呢？要不要学竞赛呢？还是说，就一门心思学高考？一般来说，学有余力的高考生，如果多学点，也是学竞赛，这样有利于考大学，所以，很少人高中的时候学大学课本。但也是有这样的人存在的。比如上次那个16岁的老兄，不管他是不是两个月从0学完大学课程，但确实，他作为一个高中在校生已经学完的大学数学系本科必修课，这其实不难做到，如果你会学习的话。那么学点大学课程当然比学竞赛更有意义。当然了，每个人的情况不同，路线不同，那个小兄弟他是国际高中，他读书就相对宽松一点，不用高考。