网友@yongyifang963
这实际上是微积分的核心思想“以直代曲,舍去高阶无穷小,从近似到精确,”你所的那个差距是被舍去了,因为当n趋向于无穷大的时候,这个差距是较另外一个变量(一般是自变量)的一个高阶无穷小。。。一般以直线或者平面代替曲线或曲面的过程中会产生一个差距,这个差距到底能不能舍去,其实是有一个检验标准的,,,那就是"原来真实的面积或者体积-以直代替的面积或体积"/自变量的改变量=o(自变量的改变量),也就是他们的差是自变量的改变量的高阶无穷小。。
比如求旋转体的体积的时候是用“n个很薄的小圆柱体的体积的和”,来代替这个旋转体体积的,因为它们的差距就是一个高阶无穷小,但是求旋转体的表面积的时候如果也用“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”来代替这个旋转体的表面积的时候就是错误的,,,原因是这个旋转体的表面积S与“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”的差,不是高阶无穷小。
舍去高阶无穷小,其实在牛顿和莱布里茨那个时代就一直存在争议,连这么伟大的数学家都觉得这样莫名其妙的舍去,不可思议。。只是被后来的数学家逐步的完善和系统化的,所以说像我们这样的小人物,又没有什么数学天赋的人存在疑问,是理所当然的事情了。
这实际上是微积分的核心思想“以直代曲,舍去高阶无穷小,从近似到精确,”你所的那个差距是被舍去了,因为当n趋向于无穷大的时候,这个差距是较另外一个变量(一般是自变量)的一个高阶无穷小。。。一般以直线或者平面代替曲线或曲面的过程中会产生一个差距,这个差距到底能不能舍去,其实是有一个检验标准的,,,那就是"原来真实的面积或者体积-以直代替的面积或体积"/自变量的改变量=o(自变量的改变量),也就是他们的差是自变量的改变量的高阶无穷小。。
比如求旋转体的体积的时候是用“n个很薄的小圆柱体的体积的和”,来代替这个旋转体体积的,因为它们的差距就是一个高阶无穷小,但是求旋转体的表面积的时候如果也用“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”来代替这个旋转体的表面积的时候就是错误的,,,原因是这个旋转体的表面积S与“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”的差,不是高阶无穷小。
舍去高阶无穷小,其实在牛顿和莱布里茨那个时代就一直存在争议,连这么伟大的数学家都觉得这样莫名其妙的舍去,不可思议。。只是被后来的数学家逐步的完善和系统化的,所以说像我们这样的小人物,又没有什么数学天赋的人存在疑问,是理所当然的事情了。