内切圆台证明球面积，舍去的无穷小去哪里了？
学生时代，想不通，只能搁置。
过了些年，有贴吧了。网友建议数学分析。
牛顿、莱布尼茨的微积分实质上是采用了实在无限小量的概念，排斥了潜在无限小量。他们从几何和物理的直观上把握了实在无限小量的零与非零的性质,但由于当时对实在无限小量缺乏深刻的认识,不能精确地表述这一概念，所以在推理论证上产生逻辑矛盾，微积分也就成了当时数学哲学争论的焦点。柯西把无限小量定义为以零为极限的变量以后，一方面使得人们对无限小量的认识前进了一步，即认识到它在变化过程中是非零，但其变化的趋势却是零，而且可以无限地趋近于零，这就解决了无限小量是零还是非零的哲学问题，同时导致一些数学家只肯定潜在无限小量而否定实在无限小量。20世纪60年代，A.鲁宾逊(1918～1974)从数学上严格证明了在数系中存在着实在无限小量，进而把数域从实数域扩大到非标准的实数域，并在此基础上建立了非标准分析理论。实在无限小量是一个大于零而小于任意实数的量，它在实数域中表现为零，在非标准实数域中则表现为非零。这样，人们就可以从数系的不同层次上清楚而直观地理解实在无限小量的零与非零性质。至此，人们在对无穷小量的认识上，已经克服了两种片面性，更深刻地认识到无穷小量的辩证性质。同时，在这一认识的基础上，产生了两种形式的分析学——微积分学和非标准分析。
遇到个网友，@yongyifang963，他回复。
这实际上是微积分的核心思想“以直代曲，舍去高阶无穷小，从近似到精确，”你所的那个差距是被舍去了，因为当n趋向于无穷大的时候，这个差距是较另外一个变量（一般是自变量）的一个高阶无穷小。。。一般以直线或者平面代替曲线或曲面的过程中会产生一个差距，这个差距到底能不能舍去，其实是有一个检验标准的，，，那就是"原来真实的面积或者体积－以直代替的面积或体积"/自变量的改变量＝o（自变量的改变量），也就是他们的差是自变量的改变量的高阶无穷小。。
比如求旋转体的体积的时候是用“n个很薄的小圆柱体的体积的和”，来代替这个旋转体体积的，因为它们的差距就是一个高阶无穷小，但是求旋转体的表面积的时候如果也用“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”来代替这个旋转体的表面积的时候就是错误的，，，原因是这个旋转体的表面积S与“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”的差，不是高阶无穷小。
舍去高阶无穷小，其实在牛顿和莱布里茨那个时代就一直存在争议，连这么伟大的数学家都觉得这样莫名其妙的舍去，不可思议。。只是被后来的数学家逐步的完善和系统化的，所以说像我们这样的小人物，又没有什么数学天赋的人存在疑问，是理所当然的事情了。
其实，一直想的是，如果平行平面，向着球心切割，可以得到无数圆环，然后剪断拉直拼起来，可以得到一个长轴2πr，短轴πr的不标准椭圆，如果能求这个椭圆面积，就能绕开微积分了。怎么求呢？
学生时代，想不通，只能搁置。
过了些年，有贴吧了。网友建议数学分析。
牛顿、莱布尼茨的微积分实质上是采用了实在无限小量的概念，排斥了潜在无限小量。他们从几何和物理的直观上把握了实在无限小量的零与非零的性质,但由于当时对实在无限小量缺乏深刻的认识,不能精确地表述这一概念，所以在推理论证上产生逻辑矛盾，微积分也就成了当时数学哲学争论的焦点。柯西把无限小量定义为以零为极限的变量以后，一方面使得人们对无限小量的认识前进了一步，即认识到它在变化过程中是非零，但其变化的趋势却是零，而且可以无限地趋近于零，这就解决了无限小量是零还是非零的哲学问题，同时导致一些数学家只肯定潜在无限小量而否定实在无限小量。20世纪60年代，A.鲁宾逊(1918～1974)从数学上严格证明了在数系中存在着实在无限小量，进而把数域从实数域扩大到非标准的实数域，并在此基础上建立了非标准分析理论。实在无限小量是一个大于零而小于任意实数的量，它在实数域中表现为零，在非标准实数域中则表现为非零。这样，人们就可以从数系的不同层次上清楚而直观地理解实在无限小量的零与非零性质。至此，人们在对无穷小量的认识上，已经克服了两种片面性，更深刻地认识到无穷小量的辩证性质。同时，在这一认识的基础上，产生了两种形式的分析学——微积分学和非标准分析。
遇到个网友，@yongyifang963，他回复。
这实际上是微积分的核心思想“以直代曲，舍去高阶无穷小，从近似到精确，”你所的那个差距是被舍去了，因为当n趋向于无穷大的时候，这个差距是较另外一个变量（一般是自变量）的一个高阶无穷小。。。一般以直线或者平面代替曲线或曲面的过程中会产生一个差距，这个差距到底能不能舍去，其实是有一个检验标准的，，，那就是"原来真实的面积或者体积－以直代替的面积或体积"/自变量的改变量＝o（自变量的改变量），也就是他们的差是自变量的改变量的高阶无穷小。。
比如求旋转体的体积的时候是用“n个很薄的小圆柱体的体积的和”，来代替这个旋转体体积的，因为它们的差距就是一个高阶无穷小，但是求旋转体的表面积的时候如果也用“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”来代替这个旋转体的表面积的时候就是错误的，，，原因是这个旋转体的表面积S与“n个很薄的小圆柱体的表面积的和”的差，不是高阶无穷小。
舍去高阶无穷小，其实在牛顿和莱布里茨那个时代就一直存在争议，连这么伟大的数学家都觉得这样莫名其妙的舍去，不可思议。。只是被后来的数学家逐步的完善和系统化的，所以说像我们这样的小人物，又没有什么数学天赋的人存在疑问，是理所当然的事情了。
其实，一直想的是，如果平行平面，向着球心切割，可以得到无数圆环，然后剪断拉直拼起来，可以得到一个长轴2πr，短轴πr的不标准椭圆，如果能求这个椭圆面积，就能绕开微积分了。怎么求呢？
