（续）
上面这段措辞，添加一些“言外之意”，可以写成：
“自立公理”：如果“0.9…循环”要等于1，它必须“从某一个位开始进位变成1”；
但是：它每位都是9，任何一位都没有“开始进位变成1”；
所以，“0.9…循环”不可能等于1。
这就是第一种模式。
显然，这里的“自立公理”：如果“0.9…循环”要等于1，它必须“从某一个位开始进位变成1”是大错特错的。
不妨想想，假如可以这样自立公理的话，岂不是还可以证明0.2≠1/5,0.5≠1/2，0.0625≠1/16……？
如：
“自立公理”：如果“0.2”要等于1/5，它必须“从某一个位开始进位变成1/5”；
但是：它任何一位都没有“开始进位变成1/5”；
所以，“0.2”不可能等于1/5。
这个模式的错处太明显。或许，原作者的本意不是如此？
那么，换一种解读试试？
（待续）

（续）
换一种解读试试（这个解读不是模式一了。但他成了模式二），如下：
0.9加上0.1，可以进位变成1；
0.99加上0.01，可以进位变成1；
0.99…99加上0.00…01，可以进位变成1；
0.99…99型的有限小数，不管多少位，总存在一个0.00…01型的最后一位非零（因而该数非零）的数，加上后可使它进位变成1；
而“0.9…循环”不是有限小数，不存在最后一位，不可能有这种形式的非零的数，所以它不可能等于1。
这个解读明显偷换了概念！
假如不偷换概念，那么，最后一句应该改成：
而“0.9…循环”不是有限小数，不存在最后一位，不可能有这种形式的非零的数，所以“不可能找到一个非零的数，可使它加上后变成1”。
请问：
“不可能等于1”
和
“不可能找到一个非零的数，可使它加上后变成1”
是同一个概念吗？
假如这种概念可以互相偷换的话，那么：
0.2也“不可能找到一个非零的数，可使它加上后变成”1/5；
请问，
可以偷换成
0.2也“不可能等于”1/5
吗？
（待续）

（续）
对作者的原意，上面举了两种解读，分别属于第一种模式和第二种模式。
上面说的是“凡基本条理还清楚者，大都出不了这两种模式”，
条理不清楚者，则还可能有别的稀奇古怪的模式。
比如，这些年和某些朋友交谈时，还常常遇到不是偷换概念，而是是偷换修饰词，把“是”换成“不是”，把“不等”换成“相等”，把“不同”偷换成“一样”，……整体逻辑框架貌似完整，偏偏其中最关键的词语却用反了，结果大谬。姑且就叫做“第三种模式”吧。如下面这种解读：
0.9加上0.1，可以进位变成1；——0.9不等于1；
0.99加上0.01，可以进位变成1；——0.99不等于1；
0.99…99加上0.00…01，可以进位变成1；——0.99…99不等于1；
0.99…99型的有限小数，不管多少位，总存在一个0.00…01型的最后一位非零（因而该数非零）的数，加上后可使它进位变成1；——0.99…99型的有限小数，不管多少位，都不等于1；
而“0.9…循环”不是有限小数，不存在最后一位，不可能有这种形式的非零的数，和0.99…99型的有限小数“一样”，所以它也不可能等于1。
这段话错在哪？很明显，最后一段明明说的是“0.9…循环”和0.99…99型的有限小数如何如何“不同”、“不一样”，却莫名其妙偷换成了“一样”！
所以，结论恰好反了。
这种错误虽然看起来不可思议，但这些年在网上交谈中，遇到不止一次了。
（待续）

措辞通常都不是完整的，所以读者的理解往往需要“猜”。
那么，还有没有其他可能的意思？
不妨设想一下，分别讨论讨论。
比如，原意是否有可能如下？
序列0.9,0.99,0.999，……，其中
第一项不等于1，差了0.1；
第二项也不等于1，差了0.01；
第三项也不等于1，差了0.001；
…………
该序列的每一项都不等于1，差了一个非零的数；
所以，该序列的最后一项“第无穷项”，也不等于1。
这一段叙述中错在哪？
错在：无穷序列中不存在“最后一项”，“第无穷项”更不是无穷序列的最后一项。
因为，不存在一个叫做“无穷”的自然数。
可以有“第100”、“第200”、“第201”、……但不可以有“第无穷”。
也许有人为了省事说话不严格说了“第无穷项”，如果不是概念糊涂，那么他的本意一定不是指无穷序列的“最后一项”，而是指序列的极限。“极限”的定义教材上已经有严格的叙述了。
（待续）

插个楼。
首先这不是推理而仅仅是质疑，你把它理解成推理不妥。
其次这段话是质疑在这个问题上持“量变导致质变”观点的同学，他们认为0.9，0.99，...，当位数无限时会质变为1，持这观点的人不在少数，可这观点完全跟数学不沾边好吧，即便是个比拟也是个不恰当的比拟。
再者，我确实认为0.999...≠1，但我目前不反对数学家规定两者相等，只要声明这是个规定就行，至于为什么要规定两者相等，他们也没说清楚我暂时也不问。
我当前反对的是声称自己能证明0.999...=1的人，这些证明和这些人无一不让人令人啼笑皆非，却大行其道，纯属在黑数学，太丢脸

你为什么要跟猴子讲道理

请楼主把10楼那猴子的言论删了吧，否则再见

无限循环小数的概念一开始并没有，它被列为数，是后来再后来的事儿，再再后来才有了实数，这过程中确实有问题。前人很伟大很卓越，但不一定完美

如果只说“一个数”，而不管其表示形式，可以是比较客观的；
也就是说数本身的性质可以和表示形式无关。
但具体说到它的表示形式，则可以包含一定人为因素在内。
例如，同一个数，不同进位制下，表示形式就不同。
我们已经知道，十进制下，1和0.99……循环代表同一个数；
同样道理，八进制下，1和0.77……循环代表同一个数；
三进制下，1和0.22……循环代表同一个数；
即使是确定了进位制以后，也仍可以有不同表示形式。如分数形式和小数形式。
即使同为小数形式，同一个数也有可能有不同的表示。
例如：十进制下：“3.42”和“3.4199……循环”，代表的是同一个数。
类似的，任何一个有限小数，都可以写成两种形式，如
3.8和3.799……循环代表同一个数；
0.5和0.499……循环代表同一个数；
等等。
但是，像1/3那样，本来就不能写成有限小数的，则只有一种表示形式了：
即0.33……循环。
上面说的是十进制，假如换一种进位制，情况就不同。
比如上面说的1/3这个数，如果换用三进制小数，那也会有两种表示形式：
一种是有限小数：0.1，
另一种是0.022……循环。
而1/2这个数，如果采用三进制小数，反而无法写成有限小数，而只能写成
0.11……循环。

@古往今来为宙乎 兄：
建议您重新思考一下以下问题：
【至少，我想以下两个命题您一定会证明：一、如果一个数大于“0.9…循环”，那么他一定大于1；二、如果一个数小于1，那么它一定小于“0.9…循环”。】
您说：“对不起，我不会证明。”我不太相信，从您以往讨论问题的深度看，我不太相信您没有这个能力。
这两个命题证明时只用到小学的概念即可。
所以我猜想您不是不会，只是还没有往这方面动脑子而已。

你看，你说服猴子了吗

首先，0.999……可以不表示某一个数字，这种情况下不能说0.999……=1，也不能说0.999……<1，也不能说0.999……的每一位都是9。
其次，如果认为0.999……表示某个数字，那么这个数字等于1。

不要尝试说服一个NT