束缚态与散射态
无穷远处 Ψ→0 的态称为束缚态，即粒子在无穷处出现的几率为0，粒子的活动范围是有限的；反之则称为散射态/非束缚态。
通常束缚态的能级离散，散射态能级连续。
一维定态薛定谔方程
−ℏ22md2ψdx2+V(x)ψ=Eψ
化为标准形式 d2ψdx2+2mℏ2[E−V(x)]ψ=0
定义 如果波函数满足 ψ(x)=±ψ(−x) ，则当 + 号成立时称 ψ(x) 有正的宇称， − 号成立时称 ψ(x) 有负的宇称。这个定义可以自然地推广到三维空间。
可以证明一维束缚定态有如下定理
一维束缚定态必是非简并态
一维束缚态波函数可以是实函数
如果 V(x)=V(−x) ，则一维束缚态波函数必有确定的宇称
一维无限深势阱
势函数为 V(x)={0,|x|<a2+∞,|x|>a2
it's trivial，其解为 ψn(x)={2acosnπax,nis odd,|x|<a22asinnπax,nis even,|x|<a20,|x|>a2
能级 En=n2π2ℏ22ma2
一维有限深势阱
势函数为 V(x)={0,|x|<a2V0,|x|>a2 ，为了保证仍为束缚态，需满足 E<V0
考虑一些对称性和束缚态条件，势阱内 ψn(x)={Ancos2mEnℏx,nis oddBnsin2mEnℏx,nis even ，势阱外 ψn(x)={Cnexp[2m(V0−En)ℏx],x<−a2,nis oddCnexp[−2m(V0−En)ℏx],x>a2,nis oddCnexp[2m(V0−En)ℏx],x<−a2,nis even−Cnexp[−2m(V0−En)ℏx],x>a2,nis even
有连续性条件 Ancos2mEna2ℏ=Cnexp[−2m(V0−En)a2ℏ],nis oddAnEnsin2mEna2ℏ=CnV0−Enexp[−2m(V0−En)a2ℏ],nis oddBnsin2mEna2ℏ=−Cnexp[−2m(V0−En)a2ℏ],nis evenBnEncos2mEna2ℏ=CnV0−Enexp[−2m(V0−En)a2ℏ],nis even
于是可以得到对能级的限制 tan2mEna2ℏ=V0En−1,nis oddcot2mEna2ℏ=−V0En−1,nis even
记 ξn=2mEna2ℏ,ηn=2m(V0−En)a2ℏ
则方程变为 ηn=ξntanξn,nis oddηn=−ξncotξn,nis evenξn2+ηn2=mV0a22ℏ2
是超越方程，可以通过作图得到一系列正整数解 ξn ，则一维有限深势阱的能级 En=2ℏ2ma2ξn2 满足这些性质：
能级的宇称偶奇相间，最低的能级为偶宇称。
(n−1)π2<ξn<nπ2 ，故有限深势阱的能级（如果存在）都比无限深势阱的相应能级低一些，且 V0→+∞ 时它们分别趋近无限深势阱的相应能级，波函数也分别趋近无限深势阱中的波函数。
能级数为 ⌈2mV0aπℏ⌉ ，至少存在一个能级。
圆桌骑士王
