（续原楼的47楼）
其实，这位老兄的言论中，属于第二种模式“偷换概念”之处更多。但上面列举出的例子，多为第一种模式“自立公理”，第二种较少。
为什么呢？
因为这位老兄的存在第二种模式问题之处，阅读起来太费劲了。
看各位参与讨论的留言，估计不少朋友会有同感吧？
措辞混乱，有时简直是“驴唇不对马嘴”。
理解全靠猜。猜不对，成了“鸡同鸭讲”，重新再换个猜法。
所以我时间一困难，就不得不先搁下，等有时间再说。
不过，从好的方面想，这也说明了一点：
看来这位老兄的偷换概念，只是能力所限造成，而不是故意。
是逻辑思维能力的限制，无意地听错、说错、理解错——是“无意间偷换概念”。
并不是那种故意诡辩，精心编造似是而非措辞来贩卖谬论的骗子。
换句话说，
只是水平问题，而不是恶意。
虽然错误，但动机还是好的。
好吧，下面分析一个实例——就以他对我的原楼47楼所说问题的回应为例（见原楼47楼、45楼、64楼的层内回复）吧。
（待续）

（续）
可以看到，其争议就在所谓我说过的“一一对应”上了。
是谁和谁对应呢？
我的原文说的清清楚楚，是一个无限小数的各小数位与自然数一一对应，对应规则是：每个位的序号对应一个自然数。如此，如果这个小数是无限小数，则其全部小数位，恰对应全部自然数。
如下面的图一所示。
从这个图中可以看出，无限小数的“位数”，是和自然数的“个数”一样多的。
当然，这里的“位数”、“个数”，都是不严格的、广义的措辞（因为没有一个自然数可以代表它）。
显然，还可以看出：
皮亚诺公理中说的：“每一个自然数都有后继”，
和我在原楼40楼说的：“无限小数中任何一位后面都还有其他位”，这两句话也是对应的。
还有，
说“自然数中不存在最大的一个（∞？）”，
和说“无限小数不存在最后一位（第∞位？）”，这两句话也是对应的。

（续）
那么，这位“古往今来为宙乎”兄的话里，又是说的谁和谁对应呢？
看了好多，直到最后终于看出，他说的“一一对应”根本不是我的原意，而是：
“按长度分的各类小数与自然数对应”
如图2所示！
而图二这种观点恰好就是我原话中正在批驳的。我原话中说 “不存在任何一个叫做“无限”的自然数”，意思就是说像图二这样的关系是不成立的。
假如是他自己有如图2这种观点，倒可以想象，难以想象的是，怎么可能把我清清楚楚的原话，硬生生一步一步改成他这种意思？
他先是把我表示序号的“第x位”中的“第”字去掉（硬说不该有），
再把“序号”改成“位数”，硬把我的话改成是“每一位的位数与自然数一一对应”！
但这样一改，还是人话么？“位数”？
请问“哪一位”的位数不是“一位”？“每一位的位数”岂不成了1,1,1,1,1，……？
不管这是歪曲我的话，还是他自己的观点，怎么着也解释不通啊？
再往下看了各方的争论，我才终于明白，
他嘴里说的小数的“每一位”，根本不是指的“位”，
而是图二中按长度分的“一类小数”，
所谓“每一位”的位数，意思是图二中的“一类小数”的小数位数！
好在有别的网友参与讨论，否则我真不知道哪辈子才能猜出：他竟然把这叫“每一位”！
不知这到底算是数学问题？还是语文问题？
当然，图二不是他的原话，只是我的猜测。但是，不这样猜，我还真没办法读通他了。

（待续）

（续）
我相当于上面图一的话重复解释过多遍了。而且我还看到有别的朋友，也有过同样意思，而且相当清楚的叙述。
对照着图一，就可以看出图二关系不可能成立的理由了：
图一的关系，不仅适用于无限小数，也适用于有限小数，只不过有限小数对应的不是全体自然数的“自然数集”，而是其前一部分子集“自然数集的初始段”，是一个有限集合而已。
而且显然有以下论断：
如果一个小数的最后一位是“第x位”，那么该小数部分的长度就等于自然数x。
而无限小数不存在最后一位，当然就不可能有一个相应的自然数来代表它的长度了。
所以我们才说“长度等于无限”的措辞是不严格的。
或者说，无限小数不存在狭义的长度概念。
既然我们已经知道（见前面楼）：
无限小数的“位数”（广义），是和自然数的“个数”（广义）一样多的。
那么，可以把代表自然数的“个数”（广义）的符号“阿列夫零”（原楼的45楼介绍过），称作无限小数的广义长度。
当然，阿列夫零不是一个自然数。
于是，上面图二要如下改动才不错：

（待续）

（续）
上面这个实例，说的是古今兄在解读我的话时，严重偷换概念，
硬把我的话，改成成相反的，恰恰是我正在批驳的意思。
还可以再举个例子，另一种偷换概念。是他自己上下文使用同一个措辞，实际意思却天差地别。
他反复宣称，“无限循环小数不是精确的小数”，
什么意思？是说它信息不全吗？
特别是他说：“就0.333...本身，它并不是一个精确的小数，因为它有头无尾。”
什么叫“有头无尾”？不就是嫌省略号忽略了部分信息么？
别人告诉他，循环小数并非只能用省略号表达，已经规定有准确值的表达形式。只不过百度输入不便，暂时没有给你写出来而已。
他不仅不理睬，反而辱骂人家，说“输入不便”只是找借口“自我安慰”。
直到有网友给他用作图片的方式写出了不用省略号的表达形式，他仍然不理睬，
继续用不礼貌的话胡搅蛮缠。就好像别人没有告诉他一样。
他到底是想表达什么呢？
谁知，过了二十多天，他突然又想起来一个理由，说：
【你的数学里无限循环小数没有最后一位，这不就是有头无尾喽？有错吗？】
原来“有头无尾”又变成这个意思了？
前面说“不是精确的小数”、“有头无尾”，别人可以理解他的意思是信息不全。
现在呢？“无限小数没有最后一位”，是本来就不该有的，并不是本来有而丢掉了，
如此还算“信息不全”吗？
他所说的“不是精确的小数”、“有头无尾”，到底是什么含义？显然，前后是不一致的。
这又是一种偷换概念。
（待续）

（续）
既然他的这个话“不是精确的小数”、“有头无尾”，前后是两种不同含义，
那么，要批驳它，也得分两种不同的批驳法了。
对后一种含义，批驳很简单：你说的“没有”是本来就该没有的，有什么毛病可挑？
三角形本来就没有第四个角，
莫非，你能说“因为三角形没有第四个角，所以三角形不是精确的几何图形”吗？
几何上的射线本来就只有一个端点而没有另一个端点，
莫非，你能说“因为射线没有第二个端点，所以射线不是精确的几何图形”吗？
（待续）

（续）
如果是前一种含义，批驳也很简单：告诉他，循环小数并非只能用省略号表达，已经规定有准确值的表达形式，只要能明确界定出“循环节”，那就是准确的了。
须知，只要能明确界定出“循环节”，这个循环小数的任何一位，就都是明确的了，没有任何信息缺失。
例如，从下图，就可以知道1/7的小数第100位、第456位、第9999位、……，任何一位：

循环节长度为6位，所以：
第100位：因为100除以6余4，所以第100位是8（142857中的第4个数字）；
第456位：因为456除以6除尽，所以第456位是7（142857中的第6个数字）；
第9999位：因为9999除以6余3，所以第9999位是2（142857中的第3个数字）；
…………
没有任何信息缺失，凭什么不承认它“是精确的小数”？
（待续）

（续）
我们已经看到，人的自然语言不可能“绝对严格”，难免出现同一措辞含义不同的情况。
例如，上面说的“无限小数没有最后一位”这话中的“没有”二字，意思就是，在这里就不可能存在这种“最后一位”的概念。
但是，在上面前一段，说忽略了某些信息的时候，如果同样使用“没有”一语，那就不是“不存在”了。
只是：有关信息没有被反映到，暂时未知而已，虽被忽略，但客观是存在的。
除了上述两种情况以外，有时候，我们口语中说到“没有”，还有第三种含义：
既不是“不存在”，也不是“信息被忽略”，而是：等于零。
例如，人们说4位有限小数“没有第5位”，其意思就是“第5位实际等于零”。
同一个措辞“没有”，已经见到三种不同含义。
假如我们的同一个措辞，一会儿当它是第一个意思，一会儿当它是第二个意思，一会又成了第三个，……岂不成了一锅粥？怎能不错？
我们不是那种为了打赢官司不惜玩弄字眼搞诡辩的讼棍。我们是在讨论考科学问题。所以应该保持清醒，主动地按真实含义去推理，而避免这种“无意间偷换概念”。
（待续）

（续）
有这样的公理（有的资料上不把它叫“公理”但可以从其它公理中推论出来）：
实数中，如果a≠b，那么必然存在第三个数c，与二者都不相等且大小介于二者之间，即：或a<c<b，或a>c>b。
我们知道，原命题和逆否命题在逻辑上等效。所以，这个公理可以等效表述成：
如果a和b之间不存在与二者都不相等且大小介于二者之间的数，那么必然a=b。
显然，“0.999……循环”与1之间，不可能存在介于其间的数。
这就足以证明“0.999……循环”=1了。
我之所以说“显然”，是因为这个论断的证明不难，只需要小学水平就可以理解。
但古今兄不认同这个论断，其说法是“对不起，我不会证明。”
在直接给出这个论断的证明之前，我们先看看古今兄的反面证明吧。
（待续）

（续）
在直接给出其证明之前，我们先看看古今兄的反面证明吧。他是这样证明二者之间可以存在一个数“(0.999...+1)/2”的：
【因为(0.999...+1)/2完全可以比0.999...多一位，它可以大于0.999...且小于1】
（原楼的37楼层内：2022-12-30 21:37）
显然，他这是照搬了有限小数的逻辑。
假如他说的“0.999...”不是指无限循环小数，而是一个有限小数，那么这个说法是对的。
有限小数，不管是几位，总有个“位数”，比如说是10位小数吧，那就是说：小数部分只有前10位的9，后面就“没有”了。
我们在前面（13楼）已经说过，这里说的“没有”，实际含义就是“等于零”。也就是说从第11位开始，每位都是零。
有了这个第11位的零，在做上述“/2”的除法时，除到第10位时该位余1，这个1和第十一位的零构成了10，除以2得到第11位的商：5。
这才会得到他说的“比0.999...多一位”！
但是，换成无限循环小数，还能有这个结果吗？
（待续）

（续）
对无限循环小数，他仍然采用这套推理，显然，他是觉得，在无限小数的情况下，天经地义地，还会有和有限小数情况一样的条件。
换句话说，他还是前面说的错误的“第一种模式”：默认了一个“自设公理”：
“自设公理”：在无限循环小数“0.999……循环”中，有最后一个非零位（第∞位？），该位以后的各位（第∞+1位、第∞+2位、……？）都等于零。
这个自设公理当然是错的。
前面我们已经从不同角度说明了：无限小数不可能存在“最后一位”，或“第∞位”，当然更不可能该位以后的各位（第∞+1位、第∞+2位、……？）都等于零。
然而我知道，古今兄仍然是不情愿接受这个道理的。
因为直到最近，他的话里对这种道理仍然称作是“你的数学里”的道理。似乎“他的数学里”不这样？
那么，他自己的数学里，该是什么道理呢？
那么，我们看一看他自己的话吧。
这是古今兄自己帖子的大标题的意思：【0.999...的小数部分每一位都是9，没错吧？】
既然“每一位都是9”，还怎么可能存在一些“等于零”的“第∞+1位、第∞+2位、……”？
不管在谁的数学里，他这个推理都是错的。
（待续）

（续）
好吧，这层我们给出下面论断的证明：
“0.999……循环”与1之间，不可能存在介于其间的数。
为避免有人在细节上纠缠，我们宁可叙述得啰嗦点，细点。
先将若干公认的命题列为引理，这些引理因为太简明，证明就省了吧。
引理一：“0.999……循环”的小数部分每一位都是9。
引理二：小数的每一位取值只可能是0、1、2、……7、8、9这十种情况。
引理三：如果一个小数的整数部分为零，小数部分各位中至少有一位非零，则该小数的值大于零。
证明：
首先，“0.999……循环”不可能大于1，故我们只需要证明不可能存在大于“0.999……循环”且小于1的数即可。
用反证法。
假设存在一个数X，满足“0.999……循环”< X < 1。
因为X < 1，所以X的整数部分一定为零。
因为“0.999……循环”< X，所以X≠“0.999……循环”。
根据引理一，且X≠“0.999……循环”，
所以X的小数部分不可能每一位都是9，至少有1位非9。
根据引理二，非9的位只可能是0、1、2、……7、8九种情况。
所以X的小数部分各位，凡不是9的，都小于9。
设d=“0.999……循环”- X，
再根据引理一，将“0.999……循环”与X相减时，一定不会出现借位。
于是，d的整数部分一定为零，d的小数部分中凡与X中为9的位相应的位，都是零；凡与X中非9的位相应的位，只可能是(9-0)=9、(9-1)=8、(9-2)=7、……(9-7)=2、(9-8)=1九种情况，均大于零。
上面已证明X中非9的位至少有1位，
所以d的小数部分中大于零的位至少有一位。
根据引理三，所以d >0 。
即：“0.999……循环”- X > 0 。
得：“0.999……循环” > X 。
与前面假设“0.999……循环”< X，矛盾。
所以，不可能存在大于“0.999……循环”且小于1的数。
各位看看，这个证明是不是只需要小学水平就可以理解？
（待续）

循环小数的定义，我们已经学过两种了（但两种互相等效，故实际是一种）。
第一次是算数中，按除法笔算规则定义了循环小数，实际是宣布循环小数等于两个整数的商，也就是等于一个分数。
第二次是高数中，定义它等于一个无限级数。也就是说，是按极限概念来定义的。不论按哪个定义0.9……循环都等于1。