犯的是形而上学的错,比如∂x/∂xj和∂xj/∂x只是偏导符号,并不能约分。
实际上,应该有三个隐函数构造了x,y,z,xi,xj,xk这6个变量的函数关系,即
F(x,y,z,xi,xj,xk)=0
G(x,y,z,xi,xj,xk)=0
H(x,y,z,xi,xj,xk)=0
构造了
x=x(xi,xj,xk)
y=y(xi,xj,xk)
z=z(xi,xj,xk)
偏导包括
∂x/∂xi,∂x/∂xj,∂x/∂xk,
∂y/∂xi,∂y/∂xj,∂y/∂xk,
∂z/∂xi,∂z/∂xj,∂z/∂xk
同时也构造了
xi=xi(x,y,z)
xj=xj(x,y,z)
xk=xk(x,y,z)
偏导包括
∂xi/∂x,∂xi/∂y,∂xi/∂z,
∂xj/∂x,∂xj/∂y,∂xj/∂z,
∂xk/∂x,∂xk/∂y,∂xk/∂z
它们之间是通过雅可比行列式联系的,复杂的公式我不方便写,先举个最简单的例子
F(x,y,z,xi,xj,xk)=x-xi=0
G(x,y,z,xi,xj,xk)=y-xj=0
H(x,y,z,xi,xj,xk)=z-xk=0
由此可得
∂x/∂xi=1,∂x/∂xj=0,∂x/∂xk=0,
∂y/∂xi=0,∂y/∂xj=1,∂y/∂xk=0,
∂z/∂xi=0,∂z/∂xj=0,∂z/∂xk=1
∂xi/∂x=1,∂xi/∂y=0,∂xi/∂z=0,
∂xj/∂x=0,∂xj/∂y=1,∂xj/∂z=0,
∂xk/∂x=0,∂xk/∂y=0,∂xk/∂z=0
显然这里∂x/∂xj=∂xj/∂x=0
可计算出
gi=1i+0j+0k
gj=0i+1j+0k
gk=0i+0j+1k
nablaxi=1i+0j+0k
nablaxj=0i+1j+0k
nablaxk=0i+0j+1k
显然对于两组向量,ijk标号相同的內积为1,标号不同的內积为0
用抽象符号进行计算时,两组向量都是用叉积行列式表示,组间向量內积结果必然也是ijk标号相同的內积为1,标号不同的內积为0