附加《反杜林论》一些内容，补充一下数学里的自然辩证法。在这里恩格斯从唯物主义分析数量关系和空间形式的客观性，数学绝不是什么单纯的想象物、创造物。

下载过，数学基础差看不懂

△x和dx差别还是有的，真要搞明白还得看现在版本的定义。
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什么是赋范线性空间?
我们在中学时就学过平面和空间笛卡尔坐标系，这里分别记作R²和R³。
这种结构上面有两种典型的二元运算:加法,数量乘法，
例如 α=(1,0),β=(0,1)，那么α+β=(1,1)，2α=(2,0)。
加法是定义在这个集合本身上的运算，而数量乘法则不同，依赖于一个独立于这个集合之外的域。这两种运算我们称为线性运算。
如果一个集合V具备了这两种线性运算:V上的加法，V关于域F的纯量乘法，并且满足8条运算法则:
1. 加法交换律、
2. 加法结合律、
3. ∃θ∈V，使得∀α∈V有α+θ=α(我们通常称θ为V的零元)、
4. ∀α∈V,∃β∈V使得α+β=θ(通常说α与β互为逆元)、
5. 1是F的单位元，则∀α∈V，有1·α=α、
6. a,b∈F则∀α∈V有a·(bα)=ab·α、
7. ∀a,b∈F，∀α∈V有(a+b)·α=a·α+b·α、
8. ∀α,β∈V，∀a∈F有a·(α+β)=a·α+a·β。
那么我们称V是一个域F上的线性空间。
我们观察到R²不仅是线性空间，它上面还有一个叫模长的结构，|x|表示x到坐标原点的距离，例如|(3,4)|=5。
于是我们抽象出一个概念:如果V是R上的线性空间，N:V→R满足:
1. ∀α∈V，N(α)≥0，等号成立当且仅当α=0(也称为正定性)，
2. ∀a∈R和α∈V，N(a·α)=|a|·N(α) (正齐次性)，
3. N(α+β)≤N(α)+N(β) (三角不等式)
那么称N是一个范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。
线性空间与线性空间之间的映射f，如果f(α+β)=f(α)+f(β)，那么称f保持加法;如果f(a·α)=a·f(α)，那么称f保持纯量乘法。如果f同时保持了这两种线性运算，那么我们称它是一个线性映射。
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什么是微分?
我们观察两个赋范线性空间之间的映射，会发现存在这样的映射f:X→Y使得对于∀x∈D⊂X，∃线性映射L(x):X→Y使得f(x+h)-f(x)=L(x)·h+ο(||h||)在x的某个邻域成立。
并且我们可以验证这样的L(x)是唯一的，证明方法为假设存在L1(x)和L2(x)都是满足条件的线性映射，然后分别代入上式，再两式作差，得到L1(x)与L2(x)相等。
于是我们称这样的映射f为在D上可微的映射，df:=L(x)dx称为f的全微分。
特别的，当我们已经选取了线性空间的基的情况下，L(x)可以用一个矩阵唯一的表示出来，这个矩阵的各分量称为f的分量函数的偏导数。

我是数学专业的。我认为楼主贴的反杜林论那段话对于希尔伯特之前的数学来说，确实比较合理。数学与现实世界的脱离大概就是发生在柯西、希尔伯特、罗素这些人的工作中。

很好

我这两天有在想这个问题，我以为语言是抽象事实事物的符号产物，而数学是进一步完全纯粹的抽象语言，我以为它的发展和推导应该是纯粹的形而上学的逻辑推导，毕竟就算不用计算弹道抛物线，抛物线方程仍然在数学届的公式里，今天看到这个帖子发现居然可以和辩证思维结合🤔

数学依然是和应用紧密联系的学科。20世纪开始发展起来的“现代数学”，代数几何和微分几何的进步很大程度上源于量子力学和规范场论的需求。极限的公理化也是源于解微积分问题的需求。19世纪曾经有过数学、物理公理化的高潮，但是这些形而上的东西并不会左右数学发展的走向。康托尔和哥德尔的理论终结了这一热潮，现在研究数理逻辑的人也很少，因为没有多少应用

哲学结合生活的优秀随笔，应用。准备还是充分的。我们都可以学一下，不同专业的同志也可以参考下能否扩宽自己的视野。

好帖帮顶

完了，是我看不懂的内容，我的数学兴趣让母上砸了，回过头来真正明白数字的意义的时候已经晚了……
_( : з」∠)_

真的，突然感觉自己好无知啊！还是要多读书呢