五1、设G=<a>,因为f是满同态，所以任给h属于H，一定存在g属于G使得h=f(g)，又因为g=a^m，故h=f(a^m)=f(a)^m,于是H=<f(a)>即H是个循环群
2、设kerf=K，由同态基本定理G/K≌H，故│G│=│G/K│*│K│=│H│*│K│=n，所以H的阶整除n
六1、直接验证即可，由数论知识知道(i,m)=1等价于ik+mt=1等价于ik=1(modm)，故i^-1=k，故Um每个元可逆，且Zm的全体可逆元恰好构成了Um。若i,j都与m互素，则ij也与m互素即乘法封闭，Zm对乘法结合故Um乘法也结合，显然1是单位元，所以Um成一个群
2、易知Zm1和Zm2都是Zm的理想，因为(m1,m2)=1故存在整数s,t使m1s+m2t=1，故Z=m1Z+m2Z