不可计算数是指那些无法被精确计算或者有效求值的数。这些数包括一些重要的数学常数，比如 π、e、φ 等，也包括某些特定的数学对象，例如某些超越函数或非解析连续统等。有理数是可计算的，因为它们可以表示为两个整数之比。整数也是可计算的，因为它们可以通过简单的操作（如加法、减法和乘法）从其他整数得出。然而，像π这样的无理数和超越数则不是可由有限的运算得到的，所以他们被认为是不可计算的。至于您提到的“忙碌海狸数”，虽然它是一个很大的自然数并且具有某种独特的性质(在模型理论中有所研究)，但这并不意味着它是不可计算的。事实上，“忙碌海狸数”这个名字来源于它在一些无穷基数上的相对大小关系中所扮演的角色——但这个定义不涉及它的计算性。也就是说，"忙碌海狸"并不是一个描述性的术语，而是一个技术性的概念。关于你的最后一个问题，如果我们将“可能的可计算大数”定义为通过已知算法能够以任何精度接近的大于某个给定值的最小数，那么确实存在许多这样的大数（例如，所有大于1的阿列克谢耶夫特基数都是可能的）。但是，我们不能确定是否所有的这些问题都可以得到解决。因此你最后一部分提到的问题产生的悖论可能是存在的。这是一个需要更深入探讨的主题

蔡廷常数的倒数取整？不知道算不算