我的朋友给出了一种第1题至少需要12障碍的证明。
首先注意到,2×3区域不可全空,否则必然能滚出6种朝向。
现在,考虑盘面中心2×2区域内障碍的数量,分3种情况:
1. 中心区域没有障碍。
那么下图中12个黄色区域内分别至少有1个障碍。
2. 中心区域有1个障碍。
继续考虑图示蓝色区域内是否有障碍。
分2种情况:
2.1. 存在蓝色区域无障碍。
那么下图中1个绿色区域、11个黄色区域内分别至少有1个障碍。
2.2. 不存在蓝色区域无障碍。
那么下图中1个绿色区域、2个蓝色区域、9个黄色区域内分别至少有1个障碍。
3. 中心区域有至少2个障碍。
那么下图中绿色区域内至少有2个障碍,10个黄色区域内分别至少有1个障碍。
综上,总是需要至少12个障碍。
这个证明思路挺有趣,不过有些过于具体了。特别是考虑到12障碍的解不只能用在8×8盘面,还可以应用于任意大盘面。
但是基于2×2区域中心顶点被定住的思路,我还想不到很好的证明……