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你随便给递推公式，有通项公式的才是极少数
类似于，放眼所有的微分方程，不定积分，你能用手算出来的约等于0个

究竟什么才算是通项公式？
在定义明确的前提下，当一个名为通项公式的代数系统中，每个要求的数列(本身是映射，全体构成某个序数集的对偶空间)都是否存在其中的一个元素与之对应
以上表明这取决于通项公式和序数集大小

举例子，质数序列也可以定义通项公式，但这个通项公式往往并不在“有用函数”的范围内，尽管定义存在但毫无用处；序列长度为有限时全体多项式插值就够；标量域就只有一个元C时通项公式f(n)=C

至于楼主的理解中引入的分段函数f的方式，能分多少段，对多少也有要求，在R上且良序集ω可数，f的每个分段作为元素构成的集合A可数(事实上可以每个点都为一段，那么仅配合常值就能实现)，但f只分有限段配合常值显然不能

我们说的通项公式通常是指定义域限制为正整数集的初等函数或者有限段的分段初等函数。就像你要对一个数列求和，问你求和的结果是什么？你直接写一个求和Sigma记号上去肯定不得分的

有，不但数列，函数也有写不出解析式的。图表法，图像法，解析式法都不能完全覆盖表示所有函数，都可以构造特例。比如用圆周率Π的有效数字的每一位数字按原顺序构造数列，就写不出通项公式，视它为函数，它也写不出解析式。

从某一天开始，某地每天某时刻的温度。

不存在，只要多一项，一直使用拉格朗日插值法即可，无限项就用无限次

楼主给出的通项公式是把π作为一个已知量来表示的，不用π的情况下就无法表示了
比如说把π数列的所有数位从大到小排序，就没办法写通项公式：3，3.1，4.31，4.311，5.4311，9.54311……
我甚至知道这个数列极限是10（因为所有的9总会排在前面，位数无穷多时实际上这个数列会变成9.999……），但是完全没办法求它的通项公式

任何一个数列{xn}，因为xn每一项都是已知的，所以xn就是xn的通项公式

分段函数也是函数

就像有理数和无理数相比少的可以忽略不计，应该大部分的数列都没有，只不过研究那些意义不大

解析式的话，连分拆数和第二类Stirling数这种非常典的东西都没有通项