①2¹²³÷9的余数是几.8
②2⁵⁴÷9的余数是几.1
③17³¹²÷9的余数是几1

因为n=1~6时，2ⁿ≡2, 4, 8, 7, 5, 1(mod 9)，2^6≡1(mod 9)，所以再往后余数会循环，只要看n除以周期6的余数就可以
123≡3(mod 6), 所以2^123≡2³≡8(mod 9)
54≡0(mod 6), 所以2^54≡2^6≡1(mod 9)
最后一个是17ⁿ≡(-1)ⁿ≡8,1,8,1…(mod 9)，循环周期是两位，312≡0(mod 2)，所以17^312≡17²≡1(mod 9)

这个还可暴力，下面就有点意思了，也是求余数。

暴力不暴力，只和模的素因子有关系，如果因子中有比较大的素数幂，算的就比较慢
最后一题123=3*41
5模41的阶是20, 5模3的阶是2，所以5模123的阶是20
20=4*5，4模5的阶是2，7^1033^…≡1(mod 2), 所以4^7^1033^…≡4(mod 5)
所以4^7^1033^…≡4(mod 20)
所以结果就是5^4^7^1033^…≡5⁴≡10(mod 123)

暴力计算结果，也是我喜欢做的。

9~ = 8
9~ = 1
9~ = 1
123457~61728~642~106~52~6~2~ 一，= 122270
1433~358~178~22~10~4~2~ 二，= 734
5613~1870~40~4~2~ 三，= 4132
109~54~18~6~2~ 四，= 12
1192~148~36~6~2~ 五，= 33
111~6~2~ 六，= 1
3457~1728~36~6~2~ 七，= 2288
119~24~2~ 八，= 50
6667~406~84~6~2~ 九，= 3623
123~20~2~ 十，= 10
用时 0.00000 秒

2¹²³÷9的余数是几？
2^123/9=(2^3)^41/9=(9-1)^41/9，余-1即8！

一楼中的一题，老眼昏花看错了，重新来过。