第一,根据距离的定义,存在点列{x_n}⊂E,{y_n}⊂F,使得 当n-->+∞时,limρ(x_n,y_n)=ρ(E,F)。
第二,根据已知条件“E,F中至少有一个是有界集”,我们不妨令E 为有界集。于是,点列{x_n}必然存在收敛的子列{x_{n_k}}。令 当n-->+∞时,limx_{n_k}=x_0 。因为E是闭集,所以x_0∈E。
第三, ρ(x_0,y_{n_k}) ≤ ρ(x_0,x_{n_k}) + ρ(x_{n_k},y_{n_k}) 。因为 ρ(x_n,y_n)是一个收敛的数列,所以它的子列 ρ(x_{n_k},y_{n_k}) 必然收敛,而且当k-->+∞时,limρ(x_{n_k},y_{n_k})=ρ(E,F)。对 ρ(x_0,y_{n_k}) ≤ ρ(x_0,x_{n_k}) + ρ(x_{n_k},y_{n_k}) 两边取极限,得到 limρ(x_0,y_{n_k})≤ρ(E,F)。
第四,根据距离的定义 ρ(x_0,y_{n_k}) ≥ ρ(E,F) 。两边取极限得到 limρ(x_0,y_{n_k})≥ρ(E,F)。
第五,根据第三和第四中的两个不等式,可得 limρ(x_0,y_{n_k}) = ρ(E,F)。令 当k-->+∞时,limy_{n_k}=y_0 。因为F是个闭集,所以y_0∈F。
证明结束。