哥德尔不完备性定理浅释
哥德尔不完备性定理的提出和证明就是为了解决
怀特海上述猜想,它指出:使用层层外延法扩张
形式逻辑体系并不能清除其总和的矛盾!
哥德尔最妙的想法就是把一切逻辑运算视作一种
二进制代码(CODE),就例如,“与”可对应为1,
“或”可对应为10,“非”可对应为11。但这些
二进制数却被他再转换成小数,如0.1,0.01,
0.11,组合逻辑运算不过是这三种码的组合,也
就是更复杂的小数。
递归:逻辑运算里有一种调用自身的运算,称为
“递归”。递归术语今天是编程算法里最基本的
运算方法之一。递归有两种结局:1.终止于有
限次数的操作;2.无限递归下去,在编程上被
称为死循环。
当逻辑体系按照怀特海的办法延拓到一个新的,
更大的逻辑体系时,旧的逻辑体系中的操作如果
被新的体系调用,就会出现递归,递归有时是无
限次数的(这是允许的,不象计算机运算不允许),
在此情况下,由二进制代码所代表的逻辑运算将
出现无限循环的小数。
这样,哥德尔就用递归把每一次形式逻辑体系的
外延后的操作,用有限小数和无限循环小数代
表出来,而且他还证明了,这种代表是唯一对应
的,也就是说,每一二进制有限小数或无限循
环小数皆唯一对应于怀特海意义下的无限扩张逻
辑体系下的某一逻辑操作。
二进制与十进制:二进制数与十进制数之间能建
立起唯一对应关系,因之,实轴上0-1的一端(剃
除掉两个端点,0、1)的所有小数都可以由二进
制小数表出,而且,两种进位制里的有限小数和
无限循环小数都对应。
有理数和无理数:任何有限小数和无限不循环小
数都属于0-1之间的有理数。0-1数段的实数除了
全部含于其中的有理数以外,还存在着无理数,
例如2分之2的平方根。如果我们表0-1数段的所
有有理数集合为Ro,表剩下的所有无理数集合为
Io,则可证明:
Ro 对等于 R;
Io 对等于 I
这里的R、I见(一)中例的定义。因此,我们遂有
Ro有可数势,而Io有不可数势。
哥德尔证明了:怀特海意义下的无限延拓形式逻
辑体系的所有逻辑操作所组成的集合与Ro之间能
够建立起1-1的对应关系,也就是说,这两个集
合对等,因此,它们有相同的势。即都具有可数
势。
但是,如果我们把0-1间任意一个无理数对应成
一个逻辑操作,因为它无限不循环,这个操作是
我们不能确定的,但却能有限截断后知道的,我
们就可以理解成不能用确定的逻辑操作去解决的,
或者换个口吻,说成是矛盾。
于是,哥德尔就得出了结论,形式逻辑分析不能
用来解决认识中的所有出现的矛盾,更有甚者,
我们由Io的不可数势的性质看到,这样的矛盾远
多于形式逻辑分析所能解决的数量!
哥德尔定理证明的独到之处,在于用数学反过来
证明逻辑分析问题,前面我们已经看到,数学上
已经确定了的推理本来是可被拆成基本逻辑操作
来推理的。罗素曾有个想法,认为所有数学的推
理都可拆开成基本的逻辑运算去实现,好象是数
学可以变成逻辑学似的,今天的哲学界数学界摈
弃了罗素这个想法,认为这是不可能的。
哥德尔不完备性定理的提出和证明就是为了解决
怀特海上述猜想,它指出:使用层层外延法扩张
形式逻辑体系并不能清除其总和的矛盾!
哥德尔最妙的想法就是把一切逻辑运算视作一种
二进制代码(CODE),就例如,“与”可对应为1,
“或”可对应为10,“非”可对应为11。但这些
二进制数却被他再转换成小数,如0.1,0.01,
0.11,组合逻辑运算不过是这三种码的组合,也
就是更复杂的小数。
递归:逻辑运算里有一种调用自身的运算,称为
“递归”。递归术语今天是编程算法里最基本的
运算方法之一。递归有两种结局:1.终止于有
限次数的操作;2.无限递归下去,在编程上被
称为死循环。
当逻辑体系按照怀特海的办法延拓到一个新的,
更大的逻辑体系时,旧的逻辑体系中的操作如果
被新的体系调用,就会出现递归,递归有时是无
限次数的(这是允许的,不象计算机运算不允许),
在此情况下,由二进制代码所代表的逻辑运算将
出现无限循环的小数。
这样,哥德尔就用递归把每一次形式逻辑体系的
外延后的操作,用有限小数和无限循环小数代
表出来,而且他还证明了,这种代表是唯一对应
的,也就是说,每一二进制有限小数或无限循
环小数皆唯一对应于怀特海意义下的无限扩张逻
辑体系下的某一逻辑操作。
二进制与十进制:二进制数与十进制数之间能建
立起唯一对应关系,因之,实轴上0-1的一端(剃
除掉两个端点,0、1)的所有小数都可以由二进
制小数表出,而且,两种进位制里的有限小数和
无限循环小数都对应。
有理数和无理数:任何有限小数和无限不循环小
数都属于0-1之间的有理数。0-1数段的实数除了
全部含于其中的有理数以外,还存在着无理数,
例如2分之2的平方根。如果我们表0-1数段的所
有有理数集合为Ro,表剩下的所有无理数集合为
Io,则可证明:
Ro 对等于 R;
Io 对等于 I
这里的R、I见(一)中例的定义。因此,我们遂有
Ro有可数势,而Io有不可数势。
哥德尔证明了:怀特海意义下的无限延拓形式逻
辑体系的所有逻辑操作所组成的集合与Ro之间能
够建立起1-1的对应关系,也就是说,这两个集
合对等,因此,它们有相同的势。即都具有可数
势。
但是,如果我们把0-1间任意一个无理数对应成
一个逻辑操作,因为它无限不循环,这个操作是
我们不能确定的,但却能有限截断后知道的,我
们就可以理解成不能用确定的逻辑操作去解决的,
或者换个口吻,说成是矛盾。
于是,哥德尔就得出了结论,形式逻辑分析不能
用来解决认识中的所有出现的矛盾,更有甚者,
我们由Io的不可数势的性质看到,这样的矛盾远
多于形式逻辑分析所能解决的数量!
哥德尔定理证明的独到之处,在于用数学反过来
证明逻辑分析问题,前面我们已经看到,数学上
已经确定了的推理本来是可被拆成基本逻辑操作
来推理的。罗素曾有个想法,认为所有数学的推
理都可拆开成基本的逻辑运算去实现,好象是数
学可以变成逻辑学似的,今天的哲学界数学界摈
弃了罗素这个想法,认为这是不可能的。