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IP属地:云南来自Android客户端1楼2024-04-10 06:20回复
    已知:10^100+1=K(10^x+1),K,x∈正整数。试求x的最大值。


    IP属地:云南来自Android客户端2楼2024-04-10 06:23
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      x=20


      IP属地:北京来自Android客户端3楼2024-04-10 07:18
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        2x|(100-x)


        IP属地:云南来自Android客户端4楼2024-04-11 01:22
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          是因为,如果x是大于1的正整数,x^a+1整除x^n+1 当且仅当n是a的奇数倍
          ⑴ 如果n=(2k-1)a,k≥1,那x^n≡(x^a)^(2k-1)≡(-1)^(2k-1)≡-1(mod x^a+1),所以x^a+1 整除x^n+1
          ⑵ 如果n=qa+r,q≥0, 1≤r≤a-1,那x^n≡x^r*(x^a)^q≡x^r*(-1)^q ≡±x^r (mod x^a+1)
          假如x^a+1整除x^n+1,那 -1≡±x^r(mod x^a+1),则x^a+1 整除 x^r-1或x^r+1
          但是x≥2时 0<x^r-1 < x^r+1 < x^a+1,不可能成立
          ⑶如果n=2ka,k≥0,那x^n≡(x^a)^(2k)≡(-1)^(2k)≡1(mod x^a+1)
          说明x^a+1 整除 x^n-1
          假如x^a+1也整除x^n+1,那x^a+1整除2,当x≥2时不可能成立


          IP属地:北京来自Android客户端5楼2024-04-11 09:28
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            所以当正整数x≥2时,使x^a+1整除x^n+1的最大的正整数a,就等于n/p,p是n的最小奇素因子
            如果n=1或者2的幂次,就不存在1≤a<n使x^a+1整除x^n+1,因为这时不会有更小的a使n是a的奇数倍


            IP属地:北京来自Android客户端6楼2024-04-11 09:33
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              @常乐老周 @蔸蔸白
              原题:解方程:已知:10^100+1=K(10^x+1),K,x∈正整数、K≠1。试求x的最大值。
              请问,此题与下面的题是不是一回事:
              X为何值时,:10^100+1是10^x+1的倍数?


              IP属地:辽宁本楼含有高级字体7楼2024-04-11 11:40
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                设100=qx+r
                那么10^100+1=⁽10^x+1–1⁾^q✖️10^r+1
                =(–1)^q✖️10^r+1(mod 10^x+1)
                而当0<r<x时有0<|(–1)^q✖️10^r+1|≤10^r+1<10^x+1
                因此10^100+1要是10^x+1的倍数
                需要两个条件(1)r=0即x|100(2)q是奇数
                所以只有x=4,20,100三个解。
                其中x=100时k=1需去除。


                IP属地:北京来自Android客户端8楼2024-04-11 12:33
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                  问题:X为何值时,10¹⁰⁰+1是10^x+1的倍数?
                  :10¹⁰⁰+1=(10⁴)²⁵+1=(10⁴+1)[(10⁴)²⁴-(10⁴)²³+……-10⁴+1],
                  类似地,10¹⁰⁰+1=(10²⁰)⁵+1=(10²⁰+1)[(10²⁰)⁴-(10²⁰)³+(10²⁰)²-10²⁰+1]。
                  所以,x=420时,10¹⁰⁰+1是10^x+1的倍数。


                  IP属地:辽宁本楼含有高级字体9楼2024-04-11 21:15
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                    2x丨(n-x)是10^n+1含有因子10^x+1的充要条件。


                    IP属地:云南来自Android客户端10楼2024-04-12 02:03
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                      方程二
                      10^99+1=K(10^x+1)
                      K∈N*,x=?


                      IP属地:云南来自Android客户端11楼2024-04-13 05:49
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                        99=3²×11,有6个解。


                        IP属地:云南来自Android客户端12楼2024-04-13 05:55
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                          当n为奇数时: a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-.+a^2b^(n-3)-ab^(n-2)+b^(n-1)]


                          IP属地:辽宁来自Android客户端13楼2024-04-13 07:52
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                            ,当n为奇数时:
                            a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-.+a^2b^(n-3)-ab^(n-2)+b^(n-1)];
                            ,设n=pq,当n有奇因子时,比如是q,则a^n+b^n=(a^p)^q+(b^p)^q,这就可以如上所说地分解为两个因式;
                            ,易知:n有多少个奇因子,(a^p)^q就有多少个,其中p=n/q.
                            比如:2楼的:已知:10^100+1=K(10^x+1),K,x∈正整数。试求x的最大值。
                            :因为100=2²×5²有两个非1的奇因子5和25,其中5最小,
                            所以,x的最大值=100/5=20.
                            又如:11楼的方程二:10^99+1=K(10^x+1),K∈N*,x=?
                            :因为99=3²×11,全都是奇因子,即1,3,9,11,33,99,所以可得如下6个解:
                            99/1=99、99/3=33、99/9=11、99/11=9、99/33=3、99/99=1.


                            IP属地:辽宁本楼含有高级字体14楼2024-04-13 21:56
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                              方程三
                              10^2024+1=K(10^x+1)
                              K∈N*,x=?


                              IP属地:云南来自Android客户端15楼2024-04-14 00:09
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