常数列解决递推求通项,要点不多,但是保证把你喂得饱饱的
初等类型一:若b[n]=k,k为常数,那么b[n]是常数列,a[n]=b[n]+n=k+n,那么a[n]是等差数列,移项得到b[n]=a[n]-n,于是{a[n]-n}是常数列。
有人就说了,这东西你也好意思发帖,当大伙白痴啊!对不起,这就是本贴的全(bing)部(shan)内(yi)容(jiao),你要觉得小儿科,请把我忘记在时光里
[例题一]已知a[n+1]=a[n]+3(n∈N*),a[1]=1,求{a[n]}的通项公式。
累加什么的俺就不发了,试试常数列吧。
我们发现,把两边同时减3之后这个式子变成了a[n+1]-3=a[n],再减一个3就成为了a[n+1]-2*3=a[n]-3,继续照这样直到减去n+1个3以后式子变成了a[n+1]-3(n+1)=a[n]-3n,将它往前写一项就是a[n]-3n=a[n-1]-3(n-1),写着写着就写到了a[2]-2*3=a[1]-3,于是我们发现{a[n]-3n}是一个常数列,它的每一项都是a[1]-3=-2,于是a[n]-3n=2,a[n]=3n-2
不要再骂简单了好伐,这是基础!基础不扎实如何做后面的难(shui)题啊!
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那么直接上题[例题二]已知a[n+1]=3a[n](n∈N*),a[1]=1,求{a[n]}的通项公式。
像之前[例题一]一样,整理得到a[n+1]/(3∧(n+1))=a[n]/(3∧n)=......=a[1]/3,于是a[n]=3∧(n-1)
看到这里你可能要说“楼主你真棒(two),我要给你生猴子”
别急,我们还有[三混搭型]已知a[n+1]=Pa[n]+q,那么求{a[n]}的通项公式。
待定系数法或者特征根可以整理出a[n+1]-q/(1-P)=P(a[n]-q/(1-P)),然后(a[n+1]-q/(1-P))/(P∧(n+1))=(a[n]-q/(1-P))/(P∧n),于是{(a[n]-q/(1-P))/(P∧n)}是常数列,(a[n]-q/(1-P))/(P∧n)=(a[1]-q/(1-P))/P
类型三要上例题么?我看不用了。大伙自己编着玩吧,我都给你总结出来了。