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下面给出求一阶偏导数的3种常规解法。
其中解法3取微分最方便。
.
注意: 本题给的F是隐函数,并不是显函数。
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解法1:用隐函数存在定理。
本来x和y是自变量,z是因变量。
定义隐函数G(x,y,z) = 0,将 z 也转为自变量。
在G中,x,y,z 三者都已经是自变量,所以相互独立。
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解法2:等式两边分别对x和y进行求导。
注意:此处 z 是x和y的复合函数,所以需要复合求导。和解法1是不一样的。
.
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解法3:等式两边直接取微分,求dz全微分。
求dz全微分,有一个好处,就是能将∂z/∂x和∂z/∂y一起求出来。比解法2方便。
.
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更详细的解答过程,看后面的图。
注意:二阶混合偏导数的系数不能为零。
.
.
下面这张图是我的解法。
第一行:方程组两边分别对x和y求偏导数。
第二行:设s是x和y的二元函数,复合函数的链式求导法则。
第三行:u是x和y的二元函数,代入到s中。
第四行:∂u/∂x和∂u/ay也是x和y的二元函数,代入到s中。
.
.
因为二阶混合偏导数连续,所以二阶混合偏导数相等。
得到方程组。
注意:二阶混合偏导数的系数不能为零。所以中间的等式不能等于0。
舍去两个解,留下两个解。
.
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严谨的做法,反正切需要加上kπ。
第二图,计算几个下面要用到的偏导数。
第三图,计算几个下面要用到的偏导数。
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设s是x和y的二元函数,复合函数的链式求导法则。
u是x和y的二元函数,代入到s中。
∂u/∂r和∂u/∂θ也是x和y的二元函数,代入到s中。
.
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链式法则。
x,y,z轮换对称,所以把x改成y和z就直接出二阶。
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x和y轮换对称,所以把x和y对调就是y二阶。
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讲一下偏导数基本概念。
首先f'1和fu是同一个东西。
使用数字时,撇不可以省。
使用u时,撇可以省,可写也可不写。
f'1是f'1(x+y,xy)的简写,fu是fu(x+y,xy)的简写。
表示对二元函数f(u,v)的第一个位置的变量求一阶偏导数。
.
常见问题:
为什么对f'1求二阶导的时候,f'1的第一个参数是x+y,第二个参数是xy。
解答: 人家本来就是f'1(x+y,xy)的简写,所以两个参数当然就一定长成这样。
因为约定俗成,所以基本所有的答案都是用简写的形式。
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G(x,y,z)已经将z转为自变量,所以x,y,z相互独立。
切平面方程化简之后,代入点(a,b,c),恒等于0,所以过定点(a,b,c)。
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21题,拉格朗日乘数法,方程组解法见后面图。
20题,z是x和y的函数,同时z是u和v的函数。az/au用链式法则。
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拉格朗日乘数法。
方程组的解法见后面。
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