曾经有吧友问过他们的数学老师，老师们的答案是，不等于，0.9…与1之间还是差了那么一点点。至于这个一点点是什么，是多少，老师们答不上来。这个吧友用数列的极限来证明两者相等，老师们显然也学过微积分，懂“极限”的意思是永远达不到。所以这个数列的极限就是达不到的，也就是说永远差了那么一点点。各位怎么看老师们的这个说法？

还有的吧友说，根据实数的稠密性，只要俩实数之间不存在另外的实数，那这俩实数就相等。显然0.9…与1之间是不存在任何实数的。如果存在的话，请给出这个实数的具体形式或者数值？各位对这个说法怎么看？

就是1啊
记x=1-0.9999999.....
那么x<任何正数
x只能等于0

实数的稠密性指的是，任何俩不相等的实数之间都存在无数个实数，只有俩相等实数之间不存在任何实数。

说到稠密性，必须说一下稠密性不等于“没有空隙”。有理数也是稠密的，任何俩不等的有理数之间都存在无数个有理数，但有理数显然有空隙和漏洞，因为有理数之间还可以填充不是有理数的无理数。扣去这些无理数的有理数轴就是有漏洞的，这些漏洞就是无理数的位置。

如果你认同1/3=0.33333.....，等号两边乘3看看

我的看法是:讨论这个问题没有任何意义

设0.999999的循环等于x，则0.9＋0.x＝x，解得x＝1

证明就这么证明

记x=1-0.999循环
那么任取一个正数y，取y的第一位有效数字，后面都舍弃，记为z
例如，y=0.039654则z=0.03
显然z<或＝y.
又有z+0.99循环>1
所以x<z，因此也有x<y
假设x>0，那么一定可以取y=x/2，使得x>y，这与我们之前证明的x<任取的y矛盾
所以一定有x=0
那么也就是 0.9循环=1

我觉得末位数字9循环本来就应该被定义成非法，就像用0做除数一样。至于很多人认为的0.999……等于1，就像另一部分人认为，1÷0等于无限大一样不通。

来吧我们形象的用小学方法解释一下（抱歉你们大佬的讨论我一个小学生不懂）：
两个数之间，你一定能找到插空的数，如0.3和0.4，比0.3大比0.4小的数有无数个，但是0.99的循环和1之间找不到这样的数。

这要看相等怎么定义了
如果相等是指两数的每个位数都一样的话，那它们不等。
如果相等是指两数之间没有其它实数的话，那它们相等。

陶哲轩发现，对于数学这门古老的艺术而言，速度的重要性远远不及耐心和狡黠，以及爵士乐大师身上那种即兴发挥和合作的天赋。陶哲轩现在认为，年轻时的自己，那位震惊数学界的奇才，并不是真正地在做数学研究。“就好像你学音乐，却只是一直在练习音阶，学习乐理”，他将目光移向窗外，阳光洒在他的脸上，“我在很久之后才知道数学更深层的含义。”——选自《陶哲轩，其人其事》
1/3=0.3333……
1*1/3=0.9999……=1