取n模9,如果是4或者5的话,则不存在3个整数,它们的立方和等于n。
下面是对于比较小的n的三个数,它们的立方和为n。没有出现的数字,例如4,23等,它们除以9余4或者5,所以无解。
1:(1,0,0)
2:(1,1,0)
3:(1,1,1)
6:(2,-1,-1)
7:(2,-1,0)
8:(2,0,0)
9:(2,1,0)
10:(2,1,1)
11:(3,-2,-2)
12:(10,7,-11)
15:(2,2,-1)
16:(2,2,0)
17:(2,2,1)
18:(3,-2,-1)
19:(3,-2,0)
20:(3,-2,1)
21:(16,-14,-11)
24:(2,2,2)
25:(3,-1,-1)
26:(3,-1,0)
27:(3,0,0)
28:(3,1,0)
29:(3,1,1)
30:(-283059965,-2118888517,2220422932)
33:(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)
34:(3,2,-1)
35:(3,2,0)
36:(3,2,1)
37:(4,-3,0)
38:(4,-3,1)
39:(134476,117367,-159380)
上面这些数字,39的解是1992年发现的,30的是1999年发现的,33的今年3月才发现。我们不知道对于那些可能有解的数字,存不存在一些没有解的,至今为止并没有能够证明对于那些n除以9不余4或5的数字有哪些没有解。很有可能,它们中的每一个都有解,只是用现有科技找不到。