第五章小图的完全归纳逻辑
1, 小图的定义
为了区分图,我们把全图中不含六边形或六边形以上的图叫做小图,而含六边形或六边形以上的图叫做大图。
大图与小图的区别不是按图的面数来分的,而是图的面结构来分的。
2, 小图一般性质
我们先介绍小图的一般性质。
小图的数量是有限的,没有六边形和六边形以上的面,最大的小图就是正十二面体。大图的面数是可以是任意数,可以实现无穷个面的大图。
A,所有小图都是可哈密顿回路的,所有小图的哈密顿回路包围的面链都是线性无分支面链。
B,同边数面的面数相等,则两图同图。
C,小图的面存在面对称性和旋转性。
D,无三边形的7面图的哈密顿回路有其它任何小图哈密顿回路的关键不同性。
上面的的四个性质,会使人一头雾水,认为看不懂,不知道在说什么,太抽象了。
其实不是这么回事,这是因为你生疏的原因。这四个性质的目的是去抽象化,而不是加强抽象化。由于长期的形式逻辑优先的思维习惯,碰到这种事情以为是在搞抽象思维,其实并不是,而是把原来包裹在这个问题上的抽象思维去除,完全把问题直觉化。
3, 小图的数量
我们不考虑二边形参与构造图,二边构造的图也是图,但它的性质是完全符合二元逻辑,是大家非常熟悉的图,在实际情况下,它就是电工图。在后面有专门附加讨论,这里所说的小图只对含三边、四边、五边图进行研究。
3,1,4面图
4面图就是正四面体,只有一种,由四个三边形构成。
图5—001
图5—001是四面图,左图为正四面体投影图,右图为标准图。阅读左图更直观,但它是几何学工具图,我们应该习惯右图阅读。
图5—002
图5—002是四面图的哈密顿回路图。哈密顿回路是我们思维认可的概念,并没有直觉性。假设强制认为图的线段有独立元素权,即图的每条线段是独立逻辑元素,在四面图中,由不同线段可组合三种哈密顿回路,即图5—002图中的三条哈密顿回路。
3,2,5面图
5面图也是只有一种。
在四面图的任意一面增加一条线段,形成的新图就是5面图。无论这条线段加在哪个面上,其结果是完全一样的。我们在拓扑含义上,最直观的三棱柱,但我们更应该在标准图上阅读这个图。
图5—003
图5—003左图是正四面体投影图的任意一面加了一条线段形成的图,右图是简易标准图。
图5—004
图5—004是图5—003左图拓扑后的结果,虽然图5—004很直观,但就这么一个简单图,需要空间想象力也是不少了。
图5—005
在标准图上,这条加线通过图5—005标准操作即可。
图5—006
3,3 六面图
三棱柱加一线段得出2个三边形、2个4边形,2个5边形的图,我们在图5—006中一共有4种画法。这四种画法是否可以拓扑成相同的图呢?这里就需要很强的空间想象力,或用橡皮泥慢慢捏才能知道。这才6面图,问题就这么难了,依赖空间想象力不是办法,得找出路。
标准图是母图,只有在标准图上存在的图,它才有具体拓扑到空间思维描述的图。空间思维会造成我们误判,原因是我们空间想象力不够用。标准图是零误判的,无论什么形态的图,我们都能找到标准图对应,就不会出现误判,这就是标准图的图独立性问题,这就是所谓的“道”。“道”并非是泛泛而谈,而是严格的数理操作,所有问题必须在标准图框架内说事。我们必须有这种自觉,如果坚持集合论,认为集合元素是离散的,独立的,具有不可置疑的元素权,一切起点就是元素的独立权开始,这就无法进行下去了。
就六面图而言,我们搞清楚哈密顿回路形态下的表达状态,就清楚了它在空间思维形态中可拓扑的状态。
图5—007
图5—007是5面图的简易标准图,是唯一表达方式。
图5—008
图5—008是简易5面标准图起落点都在图面哈密顿回路环境下的加一段穷举图。这里出现了9种状态,但我们知道,这9种状态肯定不是意味着有9种独立直觉形态,是有很多重复的。启动空间想象力,我们很快能识别很多相同图的,但我们不能依赖空间想象力,我们必须按标准图的标准操作来厘清这种相同关系。
图本身有很多哈密顿回路,换哈密顿回路显示就会有不同直觉效果。只要某一图在其它哈密顿回路环境下显示的直觉结果与现在图面上某一图完全相同,则这9个图就消除一种直觉形态。那么,我们需要不停转换哈密顿回路来消除这种重复,直到最后剩下不能消除为止吗?显然,这不是一个操作性很好的办法。我们不考虑图的来源,不考虑具体形态,我们只进行四条线段在某一固定的哈密顿直觉状态的安排,这种安排结果是多少形态就是图最终表现形态。
图5—009
图5—009是完全依赖标准图自身独立性画出的六面图结构,只有2种形态。
图5—010
图5—010是简易5面标准图加一线段,线段的起落点不全是在现有哈密顿直觉回路上的全部图状态,一共有15种情况。
这15种情况最终可以转换到图5—009状态中的一种。那么,这15种情况一定会落实去完成吗?这就是这一章的重点问题。这一章叫做小图的完全归纳逻辑。完全归纳逻辑不是嘴上说说的一种主张,说自己在进行完全归纳逻辑,别人就应该相信你在完全归纳了。四色猜想命题其实就是欠缺一个手工完全归纳逻辑,这件事没有人去做,生怕别人认为自己是傻瓜,所以一直没有把四色猜想证明出来。这15个图是一种存在,我们第一项工作就是把这些图纳入哈密顿回路的轨道上。这些图在画线段时就已经不在设定哈密顿回路上了。哈密顿回路没有直觉性,只是人类思维的一种认可,这些线段会不会落在现有未显示的哈密顿回路上呢?通过穷举,这15个图没有问题,能找到对应哈密顿回路,也就在图5—008的位置有同样的显示直觉,最终到了完全标准的图5—009中的其中一图中。这就是说,看起来9种加15种图,其实只有两个图。
不过,6面图是这样,一直下去,会不会出问题呢?事实情况是到了38点的图的时候,真的出了问题了。所以,后15个图是要考虑有风险的,但小图环境下没有这个风险。
所有小图都是可哈密顿回路的,这个证明很简单。小图是由少于六边形的面构成的,小图的哈密顿回路是线性不可分支的。哈密顿回路的分支条件是最少有六边形存在,只有六边形或六边形以上的面才能提供三条面链公共边,小图没有六边形,也就不会发生分支面链。在前一个图中,新的线段只能是某一哈密顿回路面链的分割线段或端点面线段,所以,小图不存在不可哈密顿回路现象。小图哈密顿回路的无分支性质非常重要。哈密顿回路存在着完全线性哈密顿回路图、线性哈密顿回路与分支哈密顿回路共存图、无线性哈密顿回路图及无哈密顿回路图四种状态。小图是第一级,中间还要跨两级才出现不可哈密顿回路图。这些只是大家不熟而已,一旦熟悉了,小图哈密顿回路状态就清楚了。
3,4 7面图
7面图只有两种状态。1个3边形、3个4边形、3个5边形一种状态,5个4边形、2个5边形一种状态,后面的状态俗称5棱柱图。5棱柱图是小图性质里面最最重要的,可以这么说,5棱柱是人类思维的罪魁祸首,它带给人类的思维不自恰真是罄竹难书。说句真心话,大家都应该抱着5棱柱大哭一场。
第一种状态不存在对称性,这里给出证明。
图5—011
图6—011是7面图中一个3边形,3个四边形、3个5边形的图,左图是一种标准图状态,中图是左图换哈密顿回路的状态,中图的红色线表示与左图不同的哈密顿回路,并按逆时针重新编码,右图是中图编码的新标准图。左图与右图的直觉显示是对称的,但左图与右图只是不同哈密顿回路显示图,没有任何变化。这就证明了原图的对称图就是原图,对称没有意义。我们启用空间想象力,这个图就是三个5边形接一个三边形,然后三个四边形接三个5边形的图,即正六面体削了一个角的图,没有对称含义。我们没有必要启动空间想象力,越往后越困难,我们直接在标准图上求证就可以了。同图求证是标准图、哈密顿回路最锐利的武器,它会广泛辐射到其它领域。对称求证也是很重要的,图的对称涉及到四色解题问题,四色解题并非没有意义。我们现在连四色猜想的证明都没有实现,也就不会关注四色解题,但四色解题最终是需要的。图有时候有对称意义,有时候没有,这不是小事。
图5—012
图5—012是5棱柱图。5棱柱图其貌不扬,与其他小图一样,没有什么特别。小图中正四面体、正六面体、正十二面体才是大名鼎鼎。5棱柱躲在正六面体后面,后面还有正十二面体,正十二体才是看起来最有话题的一个图。我们可以说,5棱柱太阴险了,它根本不正面,隐藏着巨大的人类思维不自恰。5棱柱有5个4边形,2个5边形,但它把5与4的关系问题搞成人类思维难以触碰。我这么说会有人认为我是造势,是故弄玄虚,其实我又何必做这种事,四色猜想证不出来,最大的障碍就是这个5棱柱搞的鬼。5棱柱的不平凡必须要搞清楚。
图5—013
图5—014
图5—014是7面图5棱柱的简易标准图。外区域面链是5、4、5面链结构。关于它的特殊性到哈密顿回路章节来解答。
3,5 8面图
8面图有两种形态,即2个3边形,6个5边形一种,4个4边形,4个5边形一种。
我们不再描述它们的几何对应,随着面的增加,几何描述越来越难,而且意义也下降。毕竟我们是坚持去抽象化的,空间想象力是抽象思维,我们尽量回避。这里不是你我空间想象力不足问题,而是命题的需要,学科的需要。
图5—015
图5—015的左图是2个3边形、6个5边形的8面图,右图是4个4边形,4个5边形的8面图,这两个图都没有对称同图。
3,6 9面图
图5—016
图5—016为9面图,9面图只有一种。9面图标准图通过上面变换哈密顿回路求证,左图的对称图与原图同图,故没有对称图。
3,7 10面图
图5—017
图5—017是10面图的标准图,十面图没有对称图,通过中图的哈密顿回路转换求证,证出对称图与原图同图。
3,7 11面图
11面图没有小图,11面不能构造不含六边或六边以上面的图,所以,11面图没有小图。这也很好理解,正12面体是完备的,去除一条线段就是11面体,去除时必然合并两个5边形,即含有一个8边形,不是小图。
3,8 12面图
12面图就是正12面体图。十二面体图有30条哈密顿回路,是所有小图中哈密顿回路最丰富的。
图5—018
3,9 小结
小图的数量与欧拉公式相对应,欧拉公式允许的图形,就有相应一个小图,并不存在同状态的多个图。小图中面数小的图含三边形图,所以,6面图、7面图、8面图有含3边形和不含两种图,8面图以上反而不含3边图,故只有一种图。小图数量有限,即总共11种。
我们需要建立一个概念,小图只有11种的意义在于,我们获得了小图的11个直觉值,这11个直觉值是完备的,是由完全归纳逻辑获得的。在手段上,“道”的引入是关键,即标准图这种图的独立意识必须建立起来,摒弃原有空间思维残余。标准图的完全符号化,图有了独立可符号运算,这种运算是基于图的直觉值求解。
可以这么说,小图的这个完全归纳逻辑是图研究的入门,是基础知识,是必备知识,没有这些知识,或试图把这些知识拆散而融入其它体系中都是不行的。
1, 小图的定义
为了区分图,我们把全图中不含六边形或六边形以上的图叫做小图,而含六边形或六边形以上的图叫做大图。
大图与小图的区别不是按图的面数来分的,而是图的面结构来分的。
2, 小图一般性质
我们先介绍小图的一般性质。
小图的数量是有限的,没有六边形和六边形以上的面,最大的小图就是正十二面体。大图的面数是可以是任意数,可以实现无穷个面的大图。
A,所有小图都是可哈密顿回路的,所有小图的哈密顿回路包围的面链都是线性无分支面链。
B,同边数面的面数相等,则两图同图。
C,小图的面存在面对称性和旋转性。
D,无三边形的7面图的哈密顿回路有其它任何小图哈密顿回路的关键不同性。
上面的的四个性质,会使人一头雾水,认为看不懂,不知道在说什么,太抽象了。
其实不是这么回事,这是因为你生疏的原因。这四个性质的目的是去抽象化,而不是加强抽象化。由于长期的形式逻辑优先的思维习惯,碰到这种事情以为是在搞抽象思维,其实并不是,而是把原来包裹在这个问题上的抽象思维去除,完全把问题直觉化。
3, 小图的数量
我们不考虑二边形参与构造图,二边构造的图也是图,但它的性质是完全符合二元逻辑,是大家非常熟悉的图,在实际情况下,它就是电工图。在后面有专门附加讨论,这里所说的小图只对含三边、四边、五边图进行研究。
3,1,4面图
4面图就是正四面体,只有一种,由四个三边形构成。
图5—001
图5—001是四面图,左图为正四面体投影图,右图为标准图。阅读左图更直观,但它是几何学工具图,我们应该习惯右图阅读。
图5—002
图5—002是四面图的哈密顿回路图。哈密顿回路是我们思维认可的概念,并没有直觉性。假设强制认为图的线段有独立元素权,即图的每条线段是独立逻辑元素,在四面图中,由不同线段可组合三种哈密顿回路,即图5—002图中的三条哈密顿回路。
3,2,5面图
5面图也是只有一种。
在四面图的任意一面增加一条线段,形成的新图就是5面图。无论这条线段加在哪个面上,其结果是完全一样的。我们在拓扑含义上,最直观的三棱柱,但我们更应该在标准图上阅读这个图。
图5—003
图5—003左图是正四面体投影图的任意一面加了一条线段形成的图,右图是简易标准图。
图5—004
图5—004是图5—003左图拓扑后的结果,虽然图5—004很直观,但就这么一个简单图,需要空间想象力也是不少了。
图5—005
在标准图上,这条加线通过图5—005标准操作即可。
图5—006
3,3 六面图
三棱柱加一线段得出2个三边形、2个4边形,2个5边形的图,我们在图5—006中一共有4种画法。这四种画法是否可以拓扑成相同的图呢?这里就需要很强的空间想象力,或用橡皮泥慢慢捏才能知道。这才6面图,问题就这么难了,依赖空间想象力不是办法,得找出路。
标准图是母图,只有在标准图上存在的图,它才有具体拓扑到空间思维描述的图。空间思维会造成我们误判,原因是我们空间想象力不够用。标准图是零误判的,无论什么形态的图,我们都能找到标准图对应,就不会出现误判,这就是标准图的图独立性问题,这就是所谓的“道”。“道”并非是泛泛而谈,而是严格的数理操作,所有问题必须在标准图框架内说事。我们必须有这种自觉,如果坚持集合论,认为集合元素是离散的,独立的,具有不可置疑的元素权,一切起点就是元素的独立权开始,这就无法进行下去了。
就六面图而言,我们搞清楚哈密顿回路形态下的表达状态,就清楚了它在空间思维形态中可拓扑的状态。
图5—007
图5—007是5面图的简易标准图,是唯一表达方式。
图5—008
图5—008是简易5面标准图起落点都在图面哈密顿回路环境下的加一段穷举图。这里出现了9种状态,但我们知道,这9种状态肯定不是意味着有9种独立直觉形态,是有很多重复的。启动空间想象力,我们很快能识别很多相同图的,但我们不能依赖空间想象力,我们必须按标准图的标准操作来厘清这种相同关系。
图本身有很多哈密顿回路,换哈密顿回路显示就会有不同直觉效果。只要某一图在其它哈密顿回路环境下显示的直觉结果与现在图面上某一图完全相同,则这9个图就消除一种直觉形态。那么,我们需要不停转换哈密顿回路来消除这种重复,直到最后剩下不能消除为止吗?显然,这不是一个操作性很好的办法。我们不考虑图的来源,不考虑具体形态,我们只进行四条线段在某一固定的哈密顿直觉状态的安排,这种安排结果是多少形态就是图最终表现形态。
图5—009
图5—009是完全依赖标准图自身独立性画出的六面图结构,只有2种形态。
图5—010
图5—010是简易5面标准图加一线段,线段的起落点不全是在现有哈密顿直觉回路上的全部图状态,一共有15种情况。
这15种情况最终可以转换到图5—009状态中的一种。那么,这15种情况一定会落实去完成吗?这就是这一章的重点问题。这一章叫做小图的完全归纳逻辑。完全归纳逻辑不是嘴上说说的一种主张,说自己在进行完全归纳逻辑,别人就应该相信你在完全归纳了。四色猜想命题其实就是欠缺一个手工完全归纳逻辑,这件事没有人去做,生怕别人认为自己是傻瓜,所以一直没有把四色猜想证明出来。这15个图是一种存在,我们第一项工作就是把这些图纳入哈密顿回路的轨道上。这些图在画线段时就已经不在设定哈密顿回路上了。哈密顿回路没有直觉性,只是人类思维的一种认可,这些线段会不会落在现有未显示的哈密顿回路上呢?通过穷举,这15个图没有问题,能找到对应哈密顿回路,也就在图5—008的位置有同样的显示直觉,最终到了完全标准的图5—009中的其中一图中。这就是说,看起来9种加15种图,其实只有两个图。
不过,6面图是这样,一直下去,会不会出问题呢?事实情况是到了38点的图的时候,真的出了问题了。所以,后15个图是要考虑有风险的,但小图环境下没有这个风险。
所有小图都是可哈密顿回路的,这个证明很简单。小图是由少于六边形的面构成的,小图的哈密顿回路是线性不可分支的。哈密顿回路的分支条件是最少有六边形存在,只有六边形或六边形以上的面才能提供三条面链公共边,小图没有六边形,也就不会发生分支面链。在前一个图中,新的线段只能是某一哈密顿回路面链的分割线段或端点面线段,所以,小图不存在不可哈密顿回路现象。小图哈密顿回路的无分支性质非常重要。哈密顿回路存在着完全线性哈密顿回路图、线性哈密顿回路与分支哈密顿回路共存图、无线性哈密顿回路图及无哈密顿回路图四种状态。小图是第一级,中间还要跨两级才出现不可哈密顿回路图。这些只是大家不熟而已,一旦熟悉了,小图哈密顿回路状态就清楚了。
3,4 7面图
7面图只有两种状态。1个3边形、3个4边形、3个5边形一种状态,5个4边形、2个5边形一种状态,后面的状态俗称5棱柱图。5棱柱图是小图性质里面最最重要的,可以这么说,5棱柱是人类思维的罪魁祸首,它带给人类的思维不自恰真是罄竹难书。说句真心话,大家都应该抱着5棱柱大哭一场。
第一种状态不存在对称性,这里给出证明。
图5—011
图6—011是7面图中一个3边形,3个四边形、3个5边形的图,左图是一种标准图状态,中图是左图换哈密顿回路的状态,中图的红色线表示与左图不同的哈密顿回路,并按逆时针重新编码,右图是中图编码的新标准图。左图与右图的直觉显示是对称的,但左图与右图只是不同哈密顿回路显示图,没有任何变化。这就证明了原图的对称图就是原图,对称没有意义。我们启用空间想象力,这个图就是三个5边形接一个三边形,然后三个四边形接三个5边形的图,即正六面体削了一个角的图,没有对称含义。我们没有必要启动空间想象力,越往后越困难,我们直接在标准图上求证就可以了。同图求证是标准图、哈密顿回路最锐利的武器,它会广泛辐射到其它领域。对称求证也是很重要的,图的对称涉及到四色解题问题,四色解题并非没有意义。我们现在连四色猜想的证明都没有实现,也就不会关注四色解题,但四色解题最终是需要的。图有时候有对称意义,有时候没有,这不是小事。
图5—012
图5—012是5棱柱图。5棱柱图其貌不扬,与其他小图一样,没有什么特别。小图中正四面体、正六面体、正十二面体才是大名鼎鼎。5棱柱躲在正六面体后面,后面还有正十二面体,正十二体才是看起来最有话题的一个图。我们可以说,5棱柱太阴险了,它根本不正面,隐藏着巨大的人类思维不自恰。5棱柱有5个4边形,2个5边形,但它把5与4的关系问题搞成人类思维难以触碰。我这么说会有人认为我是造势,是故弄玄虚,其实我又何必做这种事,四色猜想证不出来,最大的障碍就是这个5棱柱搞的鬼。5棱柱的不平凡必须要搞清楚。
图5—013
图5—014
图5—014是7面图5棱柱的简易标准图。外区域面链是5、4、5面链结构。关于它的特殊性到哈密顿回路章节来解答。
3,5 8面图
8面图有两种形态,即2个3边形,6个5边形一种,4个4边形,4个5边形一种。
我们不再描述它们的几何对应,随着面的增加,几何描述越来越难,而且意义也下降。毕竟我们是坚持去抽象化的,空间想象力是抽象思维,我们尽量回避。这里不是你我空间想象力不足问题,而是命题的需要,学科的需要。
图5—015
图5—015的左图是2个3边形、6个5边形的8面图,右图是4个4边形,4个5边形的8面图,这两个图都没有对称同图。
3,6 9面图
图5—016
图5—016为9面图,9面图只有一种。9面图标准图通过上面变换哈密顿回路求证,左图的对称图与原图同图,故没有对称图。
3,7 10面图
图5—017
图5—017是10面图的标准图,十面图没有对称图,通过中图的哈密顿回路转换求证,证出对称图与原图同图。
3,7 11面图
11面图没有小图,11面不能构造不含六边或六边以上面的图,所以,11面图没有小图。这也很好理解,正12面体是完备的,去除一条线段就是11面体,去除时必然合并两个5边形,即含有一个8边形,不是小图。
3,8 12面图
12面图就是正12面体图。十二面体图有30条哈密顿回路,是所有小图中哈密顿回路最丰富的。
图5—018
3,9 小结
小图的数量与欧拉公式相对应,欧拉公式允许的图形,就有相应一个小图,并不存在同状态的多个图。小图中面数小的图含三边形图,所以,6面图、7面图、8面图有含3边形和不含两种图,8面图以上反而不含3边图,故只有一种图。小图数量有限,即总共11种。
我们需要建立一个概念,小图只有11种的意义在于,我们获得了小图的11个直觉值,这11个直觉值是完备的,是由完全归纳逻辑获得的。在手段上,“道”的引入是关键,即标准图这种图的独立意识必须建立起来,摒弃原有空间思维残余。标准图的完全符号化,图有了独立可符号运算,这种运算是基于图的直觉值求解。
可以这么说,小图的这个完全归纳逻辑是图研究的入门,是基础知识,是必备知识,没有这些知识,或试图把这些知识拆散而融入其它体系中都是不行的。