不等式左端其实还有比你图片里更加强的结果,即可以证明2a/(a²+b²)<2/(a+b)<(lnb-lna)/(b-a),这是因为h(x)=1/x的二阶导数2/x³在(0,+∞)上恒大于0,因此1/x在(0,+∞)上为严格下凸函数,将(lnb-lna)/(b-a)写成定积分的形式1/(b-a)·∫[a到b]1/x dx=1/(b-a)·∫[a到b]h(x)dx因此根据Hadamard不等式可知(lnb-lna)/(b-a)=1/(b-a)·∫[a到b]h(x)dx>h((a+b)/2)=2/(a+b),这样就证得了不等式左端的一个更强的结论。而不等式右边等价于证ln(b/a)/(b/a-1)<1/√(b/a),也即等价于证lnx/(x-1)<1/√x对x>1成立,即f(x)=√xlnx-x+1<0对x>1成立,f’(x)=1/(2√x)·lnx+1/√x-1=1/(2√x)·(lnx+2-2√x),∀x>1,因为g(x)=lnx+2-2√x,∀x>1求导为g’(x)=1/x-1/√x<0对∀x>1,所以g(x)<g(1)=0对∀x>1成立,因此f’(x)<0对∀x>1成立,f(x)<f(1)=0对∀x>1成立,这样就证明了不等式右端成立